Question

【題目】已知：如圖，以矩形ABCD的對(duì)角線AC的中點(diǎn)O為圓心，OA長(zhǎng)為半徑作⊙O，⊙O經(jīng)過(guò)B、D兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)B作BK⊥AC，垂足為K．過(guò)D作DH∥KB，DH分別與AC、AB、⊙O及CB的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)E、F、G、H．
（1）求證：AE=CK；
（2）如果AB=a，AD= （a為大于零的常數(shù)），求BK的長(zhǎng)：
（3）若F是EG的中點(diǎn)，且DE=6，求⊙O的半徑和GH的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，

∴AD∥BC，AD=BC，

∴∠DAE=∠BCK，

∵BK⊥AC，DH∥KB，

∴∠BKC=∠AED=90°，

∴△BKC≌△ADE，

∴AE=CK

（2）解：∵AB=a，AD= =BC，

∴AC= = =

∵BK⊥AC，∠ABC=90°，

∴在Rt△ABC中，由三角形的面積公式得： AB×BC= AC×BK，

∴a× a= a×BK，

∴BK= a

（3）解：DG是圓的弦，又有AE⊥GD得GE=ED，

∵DE=6，

∴GE=6，

又∵F為EG中點(diǎn)，

∴EF= EG=3，

∵△BKC≌△DEA，

∴BK=DE=6，

∴EF= BK，且EF∥BK，

∴△AEF∽△AKB，且相似比為1：2，

∴EF為△ABK的中位線，

∴AF=BF，

又∵∠ADF=∠H，∠DAF=∠HBF=90°，

∴△AFD≌△BFH（AAS），

∴HF=DF=3+6=9，

∴GH=6，

∵DH∥KB，BK⊥AC，四邊形ABCD為矩形，

∴∠AEF=∠DEA=90°，

∴∠FAE+∠DAE=∠FAE+∠AFE=90°，

∴∠AFE=∠DAE，

∴△AEF∽△DEA，

∴AE：ED=EF：AE，

∴AE2=EFED=3×6=18，

∴AE=3 ，

∵△AED∽△HEC，

∴ = = ，

∴AE= AC，

∴AC=9 ，

則AO= ，

故⊙O的半徑是 ，GH的長(zhǎng)是6．

【解析】（1）根據(jù)ABCD是矩形，求證△BKC≌△ADE即可；（2）根據(jù)勾股定理求得AC的長(zhǎng)，根據(jù)三角形的面積公式得出 AB×BC= AC×BK，代入即可求得BK．（3）根據(jù)三角形中位線定理可求出EF，再利用△AFD≌△HBF可求出HF，然后即可求出GH；利用射影定理求出AE，再利△AED∽△HEC求證AE= AC，然后即可求得AC即可．
【考點(diǎn)精析】掌握三角形中位線定理和垂徑定理是解答本題的根本，需要知道連接三角形兩邊中點(diǎn)的線段叫做三角形的中位線；三角形中位線定理：三角形的中位線平行于三角形的第三邊，且等于第三邊的一半；垂徑定理：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的兩條�。�