Question

（2013年四川資陽(yáng)9分）如圖，已知直線l分別與x軸、y軸交于A，B兩點(diǎn)，與雙曲線（a≠0，x＞0）分別交于D、E兩點(diǎn)．

（1）若點(diǎn)D的坐標(biāo)為（4，1），點(diǎn)E的坐標(biāo)為（1，4）：
①分別求出直線l與雙曲線的解析式；
②若將直線l向下平移m（m＞0）個(gè)單位，當(dāng)m為何值時(shí)，直線l與雙曲線有且只有一個(gè)交點(diǎn)？
（2）假設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為（a，0），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，b），點(diǎn)D為線段AB的n等分點(diǎn)，請(qǐng)直接寫出b的值．

Answer 1

解：（1）①把D（4，1）代入得a=1×4=4，
∴反比例函數(shù)解析式為（x＞0）。
設(shè)直線l的解析式為y=kx+t，
把D（4，1），E（1，4）代入得，解得。
∴直線l的解析式為y=﹣x+5。
②直線l向下平移m（m＞0）個(gè)單位得到y(tǒng)=﹣x+5﹣m，
當(dāng)方程組只有一組解時(shí)，直線l與雙曲線有且只有一個(gè)交點(diǎn)，
化為關(guān)于x的方程得x²+（5﹣m）x+4=0，
△=（m﹣5）²﹣4×4=0，解得m₁=1，m₂=9。
而m=9時(shí)，解得x=﹣2，故舍去。
∴當(dāng)m=1時(shí)，直線l與雙曲線有且只有一個(gè)交點(diǎn)。
（2）如圖，作DF⊥x軸于點(diǎn)F，

∵點(diǎn)D為線段AB的n等分點(diǎn)，∴DA：AB=1：n。
∵DF∥OB，∴△ADF∽△ABO。
∴，即。
∴。∴OF=。
∴D點(diǎn)坐標(biāo)為（，）。
把D（，）代入得（）•=a，解得。

解析