Question

（2012•鐵嶺）已知△ABC是等邊三角形．
（1）將△ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)角θ（0°＜θ＜180°），得到△ADE，BD和EC所在直線相交于點(diǎn)O．       
①如圖a，當(dāng)θ=20°時(shí)，△ABD與△ACE是否全等？

是

（填“是”或“否”），∠BOE=

120

度；
②當(dāng)△ABC旋轉(zhuǎn)到如圖b所在位置時(shí)，求∠BOE的度數(shù)；
（2）如圖c，在AB和AC上分別截取點(diǎn)B′和C′，使AB=

3

AB′，AC=

3

AC′，連接B′C′，將△AB′C′繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)角（0°＜θ＜180°），得到△ADE，BD和EC所在直線相交于點(diǎn)O，請(qǐng)利用圖c探索∠BOE的度數(shù)，直接寫出結(jié)果，不必說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）①根據(jù)旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)以及等邊三角形的性質(zhì)可得AB=AD=AC=AE，∠BAD=∠CAE，然后利用“邊角邊”證明△ABD與△ACE全等；根據(jù)三角形的內(nèi)角和等于180°求出∠ABD與∠AEC的度數(shù)，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)角為20°求出∠BAE的度數(shù)，然后利用四邊形的內(nèi)角和公式求解即可；
②先利用“邊角邊”證明△BAD和△CAE全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)角相等可得∠ADB=∠AEC，再利用四邊形ABOE的內(nèi)角和等于360°推出∠BOE+∠DAE=180°，再根據(jù)等邊三角形的每一個(gè)角都是60°得到∠DAE=60°，從而得解；
（2）先求出B′C′∥BC，證明△AB′C′是等邊三角形，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)可得AD=AE，∠BAD=∠CAE，然后利用“邊角邊”證明△ABD和△ACE全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)角相等可得∠ABD=∠ACE，再利用三角形的內(nèi)角和定理求出∠BOC的度數(shù)，然后分0°＜θ≤30°與30°＜θ＜180°兩種情況求解．

解答：解：（1）①∵△ADE是由△ABC繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)θ得到，△ABC是等邊三角形，
∴AB=AD=AC=AE，∠BAD=∠CAE=20°，
在△ABD與△ACE中，

AB=AC ∠BAD=∠CAE AD=AE

，
∴△ABD≌△ACE（SAS）；
∵θ=20°，
∴∠ABD=∠AEC=

1

2

（180°-20°）=80°，
又∵∠BAE=θ+∠BAC=20°+60°=80°，
∴在四邊形ABOE中，∠BOE=360°-80°-80°-80°=120°；

②由已知得：△ABC和△ADE是全等的等邊三角形，
∴AB=AD=AC=AE，
∵△ADE是由△ABC繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)θ得到的，
∴∠BAD=∠CAE=θ，
∴△BAD≌△CAE，
∴∠ADB=∠AEC，
∵∠ADB+∠ABD+∠BAD=180°，
∴∠AEC+∠ABO+∠BAD=180°，
∵∠ABO+∠AEC+∠BAE+∠BOE=360°，
∵∠BAE=∠BAD+∠DAE，
∴∠DAE+∠BOE=180°，
又∵∠DAE=60°，
∴∠BOE=120°；

（2）如圖，∵AB=

3

AB′，AC=

3

AC′，
∴

AB′

AB

=

AC′

AC

=

3

3

，
∴B′C′∥BC，
∵△ABC是等邊三角形，
∴△AB′C′是等邊三角形，
根據(jù)旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)可得AD=AE，∠BAD=∠CAE，
在△ABD和△ACE中，

AB=AC ∠BAD=∠CAE AD=AE

，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠ABD=∠ACE，
∴∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB），
=180°-（∠OBC+∠ACB+∠ACE），
=180°-（∠OBC+∠ACB+∠ABD），
=180°-（∠ACB+∠ABC），
=180°-（60°+60°），
=60°，
當(dāng)0°＜θ＜30°時(shí)，∠BOE=∠BOC=60°，
當(dāng)30°＜θ＜180°時(shí)，∠BOE=180°-∠BOC=180°-60°=120°．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，根據(jù)旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)找出證明全等三角形的條件是解題的關(guān)鍵．