Question

（2012•鐵嶺）如圖，已知拋物線經(jīng)過原點O和x軸上一點A（4，0），拋物線頂點為E，它的對稱軸與x軸交于點D．直線y=-2x-1經(jīng)過拋物線上一點B（-2，m）且與y軸交于點C，與拋物線的對稱軸交于點F．
（1）求m的值及該拋物線對應的解析式；
（2）P（x，y）是拋物線上的一點，若S_△ADP=S_△ADC，求出所有符合條件的點P的坐標；
（3）點Q是平面內任意一點，點M從點F出發(fā)，沿對稱軸向上以每秒1個單位長度的速度勻速運動，設點M的運動時間為t秒，是否能使以Q、A、E、M四點為頂點的四邊形是菱形？若能，請直接寫出點M的運動時間t的值；若不能，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）首先求出點B的坐標和m的值，然后利用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式；
（2）△ADP與△ADC有共同的底邊AD，因為面積相等，所以AD邊上的高相等，即為1；從而得到點P的縱坐標為1，再利用拋物線的解析式求出點P的縱坐標；
（3）如解答圖所示，在點M的運動過程中，依次出現(xiàn)四個菱形，注意不要漏解．針對每一個菱形，分別進行計算，求出線段MF的長度，從而得到運動時間t的值．

解答：解：（1）∵點B（-2，m）在直線y=-2x-1上
∴m=-2×（-2）-1=4-1=3，
所以，點B（-2，3），
又∵拋物線經(jīng)過原點O，
∴設拋物線的解析式為y=ax²+bx，
∵點B（-2，3），A（4，0）在拋物線上，
∴

4a-2b=3 16a+4b=0

，
解得：

a= 1 4 b=-1

．
∴設拋物線的解析式為y=

1

4

x2-x．

（2）∵P（x，y）是拋物線上的一點，
∴P(x，

1

4

x2-x)，
若S_△ADP=S_△ADC，
∵S△ADC=

1

2

AD•OC，S△ADP=

1

2

AD•|y|，
又∵點C是直線y=-2x-1與y軸交點，
∴C（0，-1），
∴OC=1，
∴|

1

4

x2-x|=1，即

1

4

x2-x=1或

1

4

x2-x=-1，
解得：x1=2+2

2

，x2=2-2

2

，x3=x4=2．
∴點P的坐標為 P1(2+2

2

，1)，P2(2-2

2

，1)，P3(2，-1)．

（3）結論：存在．
∵拋物線的解析式為y=

1

4

x2-x，
∴頂點E（2，-1），對稱軸為x=2；
點F是直線y=-2x-1與對稱軸x=2的交點，∴F（2，-5），DF=5．
又∵A（4，0），
∴AE=

5

．
如右圖所示，在點M的運動過程中，依次出現(xiàn)四個菱形：
①菱形AEM₁Q₁．
∵此時EM₁=AE=

5

，
∴M₁F=DF-DE-DM₁=4-

5

，
∴t₁=4-

5

；
②菱形AEOM₂．
∵此時DM₂=DE=1，
∴M₂F=DF+DM₂=6，
∴t₂=6；
③菱形AEM₃Q₃．
∵此時EM₃=AE=

5

，
∴DM₃=EM₃-DE=

5

-1，
∴M₃F=DM₃+DF=（

5

-1）+5=4+

5

，
∴t₃=4+

5

；
④菱形AM₄EQ₄．
此時AE為菱形的對角線，設對角線AE與M₄Q₄交于點H，則AE⊥M₄Q₄，
∵易知△AED∽△M₄EH，
∴

M4E

AE

=

EH

DE

，即

M4E

5

=

5 2

1

，得M₄E=

5

2

，
∴DM₄=M₄E-DE=

5

2

-1=

3

2

，
∴M₄F=DM₄+DF=

3

2

+5=

13

2

，
∴t₄=

13

2

．
綜上所述，存在點M、點Q，使得以Q、A、E、M四點為頂點的四邊形是菱形；時間t的值為：t₁=4-

5

，t₂=6，t₃=4+

5

，t₄=

13

2

．

點評：本題是二次函數(shù)綜合題，考查的知識點包括二次函數(shù)的圖象與性質、一次函數(shù)、待定系數(shù)法、圖形面積、菱形的判定與性質等，由于涉及考點眾多，所以難度較大．第（2）問是存在型問題，要點在于利用面積的相等關系求出點P的縱坐標，然后運用方程思想求得其橫坐標；第（3）問是運動型問題，注意符合條件的菱形有四個，避免漏解．