Question

已知：點C、A、D在同一條直線上，∠ABC=∠ADE=α，線段BD、CE交于點M．
（1）如圖1，若AB=AC，AD=AE
①問線段BD與CE有怎樣的數(shù)量關(guān)系？并說明理由；
②求∠BMC的大�。ㄓ忙帘硎荆�；
（2）如圖2，若AB=BC=kAC，AD=ED=kAE，則線段BD與CE的數(shù)量關(guān)系為______，∠BMC=______（用α表示）；
（3）在（2）的條件下，把△ABC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)180°，在備用圖中作出旋轉(zhuǎn)后的圖形（要求：尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡），連接EC并延長交BD于點M．則∠BMC=______（用α表示）．

Answer 1

【答案】分析：（1）①先根據(jù)等腰三角形等角對等邊的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理得出∠DAE=∠BAC，則∠BAD=∠CAE，再根據(jù)SAS證明△ABD≌△ACE，從而得出BD=CE；
②先由全等三角形的對應(yīng)角相等得出∠BDA=∠CEA，再根據(jù)三角形的外角性質(zhì)即可得出∠BMC=∠DAE=180°-2α；
（2）先根據(jù)等腰三角形等角對等邊的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理得出∠DAE=∠BAC=90°-α，則∠BAD=∠CAE，再由AB=kAC，AD=kAE，得出AB：AC=AD：AE=k，則根據(jù)兩邊對應(yīng)成比例，且夾角相等的兩三角形相似證出△ABD∽△ACE，得出BD=kCE，∠BDA=∠CEA，然后根據(jù)三角形的外角性質(zhì)即可得出∠BMC=∠DAE=90°-α；
（3）先在備用圖中利用SSS作出旋轉(zhuǎn)后的圖形，再根據(jù)等腰三角形等角對等邊的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理得出∠DAE=∠BAC=90°-α，由AB=kAC，AD=kAE，得出AB：AC=AD：AE=k，從而證出△ABD∽△ACE，得出∠BDA=∠CEA，然后根據(jù)三角形的外角性質(zhì)即可得出∠BMC=90°+α．
解答：解：（1）如圖1．
①BD=CE，理由如下：
∵AD=AE，∠ADE=α，
∴∠AED=∠ADE=α，
∴∠DAE=180°-2∠ADE=180°-2α，
同理可得：∠BAC=180°-2α，
∴∠DAE=∠BAC，
∴∠DAE+∠BAE=∠BAC+∠BAE，
即：∠BAD=∠CAE．
在△ABD與△ACE中，
∵，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴BD=CE；
②∵△ABD≌△ACE，
∴∠BDA=∠CEA，
∵∠BMC=∠MCD+∠MDC，
∴∠BMC=∠MCD+∠CEA=∠DAE=180°-2α；

（2）如圖2．
∵AD=ED，∠ADE=α，
∴∠DAE==90°-α，
同理可得：∠BAC=90°-α，
∴∠DAE=∠BAC，
∴∠DAE+∠BAE=∠BAC+∠BAE，
即：∠BAD=∠CAE．
∵AB=kAC，AD=kAE，
∴AB：AC=AD：AE=k．
在△ABD與△ACE中，
∵AB：AC=AD：AE=k，∠BDA=∠CEA，
∴△ABD∽△ACE，
∴BD：CE=AB：AC=AD：AE=k，∠BDA=∠CEA，
∴BD=kCE；
∵∠BMC=∠MCD+∠MDC，
∴∠BMC=∠MCD+∠CEA=∠DAE=90°-α．
故答案為：BD=kCE，90°-α；

（3）如右圖．
∵AD=ED，∠ADE=α，
∴∠DAE=∠AED==90°-α，
同理可得：∠BAC=90°-α，
∴∠DAE=∠BAC，即∠BAD=∠CAE．
∵AB=kAC，AD=kAE，
∴AB：AC=AD：AE=k．
在△ABD與△ACE中，
∵AB：AC=AD：AE=k，∠BAD=∠CAE，
∴△ABD∽△ACE，
∴∠BDA=∠CEA，
∵∠BMC=∠MCD+∠MDC，∠MCD=∠CED+∠ADE=∠CED+α，
∴∠BMC=∠CED+α+∠CEA=∠AED+α=90°-α+α=90°+α．
故答案為：90°+α．
點評：本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形的外角的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，作圖-旋轉(zhuǎn)變換，綜合性較強，有一定難度．由于全等是相似的特殊情況，所以做第二問可以借助第一問的思路及方法，做第三問又可以遵照第二問的做法，本題三問由淺入深，層層遞進，做好第一問是關(guān)鍵．