Question

已知：點C、A、D在同一條直線上，∠ABC=∠ADE=α，線段BD、CE交于點M．

（1）如圖1，若AB=AC，AD=AE

①問線段BD與CE有怎樣的數(shù)量關(guān)系？并說明理由；

②求∠BMC的大�。ㄓ忙帘硎荆�；

（2）如圖2，若AB=BC=kAC，AD=ED=kAE，則線段BD與CE的數(shù)量關(guān)系為　_________　，∠BMC=　_________　（用α表示）；

（3）在（2）的條件下，把△ABC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)180°，在備用圖中作出旋轉(zhuǎn)后的圖形（要求：尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡），連接EC并延長交BD于點M．則∠BMC=　_________　（用α表示）．

 

Answer 1

【答案】

（1）①BD=CE   ②180°﹣2α    （2）BD=kCE，90°﹣α     （3）90°+α

【解析】

試題分析：（1）如圖1．

①BD=CE，理由如下：

∵AD=AE，∠ADE=α，

∴∠AED=∠ADE=α，

∴∠DAE=180°﹣2∠ADE=180°﹣2α，

同理可得：∠BAC=180°﹣2α，

∴∠DAE=∠BAC，

∴∠DAE+∠BAE=∠BAC+∠BAE，

即：∠BAD=∠CAE．

在△ABD與△ACE中，

∵，

∴△ABD≌△ACE（SAS），

∴BD=CE；

②∵△ABD≌△ACE，

∴∠BDA=∠CEA，

∵∠BMC=∠MCD+∠MDC，

∴∠BMC=∠MCD+∠CEA=∠DAE=180°﹣2α；

（2）如圖2．

∵AD=ED，∠ADE=α，

∴∠DAE==90°﹣α，

同理可得：∠BAC=90°﹣α，

∴∠DAE=∠BAC，

∴∠DAE+∠BAE=∠BAC+∠BAE，

即：∠BAD=∠CAE．

∵AB=kAC，AD=kAE，

∴AB：AC=AD：AE=k．

在△ABD與△ACE中，

∵AB：AC=AD：AE=k，∠BDA=∠CEA，

∴△ABD∽△ACE，

∴BD：CE=AB：AC=AD：AE=k，∠BDA=∠CEA，

∴BD=kCE；

∵∠BMC=∠MCD+∠MDC，

∴∠BMC=∠MCD+∠CEA=∠DAE=90°﹣α．

故答案為：BD=kCE，90°﹣α；

（3）如右圖．

∵AD=ED，∠ADE=α，

∴∠DAE=∠AED==90°﹣α，

同理可得：∠BAC=90°﹣α，

∴∠DAE=∠BAC，即∠BAD=∠CAE．

∵AB=kAC，AD=kAE，

∴AB：AC=AD：AE=k．

在△ABD與△ACE中，

∵AB：AC=AD：AE=k，∠BAD=∠CAE，

∴△ABD∽△ACE，

∴∠BDA=∠CEA，

∵∠BMC=∠MCD+∠MDC，∠MCD=∠CED+∠ADE=∠CED+α，

∴∠BMC=∠CED+α+∠CEA=∠AED+α=90°﹣α+α=90°+α．

故答案為：90°+α．

考點：相似三角形的判定與性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；作圖-旋轉(zhuǎn)變換．

點評：本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形的外角的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，作圖﹣旋轉(zhuǎn)變換，綜合性較強，有一定難度．由于全等是相似的特殊情況，所以做第二問可以借助第一問的思路及方法，做第三問又可以遵照第二問的做法，本題三問由淺入深，層層遞進(jìn)，做好第一問是關(guān)鍵．