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在平面直角坐標系中，二次函數（）的圖象與軸正半軸交于A點．
（1）求證：該二次函數的圖象與x軸必有兩個交點；
（2）設該二次函數的圖象與x軸的兩個交點中右側的交點為點B，若∠ABO=45°，將直線AB向下平移2個單位得到直線l，求直線l的解析式；
（3）在（2）的條件下，設M（p，q）為二次函數圖象上的一個動點，當時，點M關于x軸的對稱點都在直線l的下方，求m的取值范圍．

（1）證明見解析；（2）；（3）．

解析試題分析：（1）根據二次函數與一元二次方程的關系，要證明二次函數的圖象與x軸有兩個交點，只要對應的一元二次方程根的判別式大于0即可.
（2）求出直線AB的解析式，根據平移的性質即可得直線l的解析式.
（3）求出點M關于x軸的對稱點所在的二次函數解析式，由其在直線l的下方求出m的取值范圍．
試題解析：（1）令，則
.
∵二次函數圖象與y軸正半軸交于A點，
∴，且.
又，∴.
∴.
∴該二次函數的圖象與x軸必有兩個交點．
（2）令，解得：．
由（1）得，故B的坐標為（1，0）．
又因為∠ABO=45°，所以，即.
則可求得直線AB的解析式為.
再向下平移2個單位可得到直線．
（3）由（2）得二次函數的解析式為
∵M（p，q）為二次函數圖象上的一個動點，
∴.
∴點M關于x軸的對稱點的坐標為.
∴點在二次函數上.
∵當時，點M關于x軸的對稱點都在直線l的下方，
當時，；當時，.
結合圖象可知：，
解得：.
∴的取值范圍為．

考點：1.二次函數綜合題；2.平移和軸對稱的性質；3．二次函數與一元二次方程的關系；4．一元二次方程根的判別式.

練習冊系列答案
相關習題

科目：初中數學 來源： 題型：解答題

如圖，已知拋物線y=2x2-2與x軸交于A，B兩點（點A在點B的左側），與y軸交于點C．
（1）寫出以A，B，C為頂點的三角形面積；
（2）過點E（0，6）且與x軸平行的直線l1與拋物線相交于M、N兩點（點M在點N的左側），以MN為一邊，拋物線上的任一點P為另一頂點做平行四邊形，當平行四邊形的面積為8時，求出點P、N的坐標；
（3）過點D（m，0）（其中m＞1）且與x軸垂直的直線l2上有一點Q（點Q在第一象限），使得以Q，D，B為頂點的三角形和以B，C，O為頂點的三角形相似，求線段QD的長（用含m的代數式表示）．

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科目：初中數學 來源： 題型：解答題

在平面直角坐標系中，我們不妨把橫坐標與縱坐標相等的點稱為“夢之點”，例如點（﹣1，﹣1），（0，0），（，），…都是“夢之點”，顯然，這樣的“夢之點”有無數個．
（1）若點P（2，m）是反比例函數y=（n為常數，n≠0）的圖象上的“夢之點”，求這個反比例函數的解析式；
（2）函數y=3kx+s﹣1（k，s是常數）的圖象上存在“夢之點”嗎？若存在，請求出“夢之點”的坐標；若不存在，請說明理由；
（3）若二次函數y=ax2+bx+1（a，b是常數，a＞0）的圖象上存在兩個不同的“夢之點”A（x1，x1），B（x2，x2），且滿足﹣2＜x1＜2，|x1﹣x2|=2，令t=b2﹣2b+，試求出t的取值范圍．

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科目：初中數學 來源： 題型：解答題

如圖1，拋物線y=ax2+bx+c（a＞0）的頂點為M，直線y=m與x軸平行，且與拋物線交于點A，B，若△AMB為等腰直角三角形，我們把拋物線上A，B兩點之間的部分與線段AB圍成的圖形稱為該拋物線對應的準蝶形，線段AB稱為碟寬，頂點M稱為碟頂，點M到線段AB的距離稱為碟高．
（1）拋物線y=x2對應的碟寬為　 　；拋物線y=4x2對應的碟寬為　 　；拋物線y=ax2（a＞0）對應的碟寬為　　；拋物線y=a（x﹣2）2+3（a＞0）對應的碟寬為　　；
（2）拋物線y=ax2﹣4ax﹣（a＞0）對應的碟寬為6，且在x軸上，求a的值；
（3）將拋物線y=anx2+bnx+cn（an＞0）的對應準蝶形記為Fn（n=1，2，3…），定義F1，F2，…，Fn為相似準蝶形，相應的碟寬之比即為相似比．若Fn與Fn﹣1的相似比為，且Fn的碟頂是Fn﹣1的碟寬的中點，現將（2）中求得的拋物線記為y1，其對應的準蝶形記為F1．
①求拋物線y2的表達式；
②若F1的碟高為h1，F2的碟高為h2，…Fn的碟高為hn，則hn=　　，Fn的碟寬有端點橫坐標為　2　；F1，F2，…，Fn的碟寬右端點是否在一條直線上？若是，直接寫出該直線的表達式；若不是，請說明理由．

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科目：初中數學 來源： 題型：解答題

某水果店銷售某中水果，由歷年市場行情可知，從第1月至第12月，這種水果每千克售價y1（元）與銷售時間第x月之間存在如圖1（一條線段）的變化趨勢，每千克成本y2（元）與銷售時間第x月滿足函數關系式y(tǒng)2=mx2﹣8mx+n，其變化趨勢如圖2．

（1）求y2的解析式；
（2）第幾月銷售這種水果，每千克所獲得利潤最大？最大利潤是多少？

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科目：初中數學 來源： 題型：解答題

如圖，拋物線y=-x2+bx+c與x軸交于點A（1,0）、C，交y軸于點B，對稱軸x=-1與x軸交于點D．
（1）求該拋物線的解析式和B、C點的坐標；
（2）設點P（x，y）是第二象限內該拋物線上的一個動點，△PBD的面積為S，求S關于x的函數關系式，并寫出自變量x的取值范圍；

（3）點G在x軸負半軸上，且∠GAB=∠GBA，求G的坐標；
（4）若此拋物線上有一點Q，滿足∠QCA=∠ABO,若存在，求直線QC的解析式；若不存在，試說明理由.

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科目：初中數學 來源： 題型：解答題

已知拋物線經過點A（3，2），B（0，1）和點C．
（1）求拋物線的解析式；
（2）如圖，若拋物線的頂點為P，點A關于對稱軸的對稱點為M，過M的直線交拋物線于另一點N（N在對稱軸右邊），交對稱軸于F，若，求點F的坐標；
（3）在（2）的條件下，在y軸上是否存在點G，使△BMA與△MBG相似？若存在，求點G的坐標；若不存在，請說明理由．

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科目：初中數學 來源： 題型：解答題

如圖，已知拋物線y＝x2＋bx＋c經過A(-1, 0)、B(4, 5)兩點，過點B作BC⊥x軸，垂足為C．
（1）求拋物線的解析式；
（2）求tan∠ABO的值；
（3）點M是拋物線上的一個點，直線MN平行于y軸交直線AB于N，如果以M、N、B、C為頂點的四邊形是平行四邊形，求出點M的橫坐標．

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科目：初中數學 來源： 題型：解答題

已知，如圖二次函數y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象與y軸交于點C（0，4）與x軸交于點A、B，點B（4，0），拋物線的對稱軸為x=1．直線AD交拋物線于點D（2，m），
（1）求二次函數的解析式并寫出D點坐標；
（2）點Q是線段AB上的一動點，過點Q作QE∥AD交BD于E，連結DQ，當△DQE的面積最大時，求點Q的坐標；
（3）拋物線與y軸交于點C，直線AD與y軸交于點F，點M為拋物線對稱軸上的動點，點N在x軸上，當四邊形CMNF周長取最小值時，求出滿足條件的點M和點N的坐標．

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