Question

如圖，拋物線y=-x²+bx+c與x軸交于點(diǎn)A（1,0）、C，交y軸于點(diǎn)B，對稱軸x=-1與x軸交于點(diǎn)D．
（1）求該拋物線的解析式和B、C點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）設(shè)點(diǎn)P（x，y）是第二象限內(nèi)該拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，△PBD的面積為S，求S關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍；

（3）點(diǎn)G在x軸負(fù)半軸上，且∠GAB=∠GBA，求G的坐標(biāo)；
（4）若此拋物線上有一點(diǎn)Q，滿足∠QCA=∠ABO,若存在，求直線QC的解析式；若不存在，試說明理由.

Answer 1

（1）y=-x²-2x+3，C（-3,0）、B（0,3）；（2）S=－x²-（-3＜x＜0）；（3）G（-4,0）；(4)存在，，或.

解析試題分析：（1）先根據(jù)拋物線y=-x²+bx+c與x軸交于點(diǎn)A（1，0），對稱軸為x=-1，列出關(guān)于b、c的方程組，解方程組求出b、c的值，得到拋物線的解析式為y=-x²-2x+3；再解方程-x²-2x+3=0，求出x的值，得到C點(diǎn)的坐標(biāo)；將x=0代入y=-x²-2x+3，求出y的值，得到B點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）過點(diǎn)P作PE⊥x軸于點(diǎn)E，根據(jù)S=S_梯形PEOB-S_△BOD-S_△PDE求出S關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，再根據(jù)點(diǎn)P（x，y）是第二象限內(nèi)該拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，得出自變量x的取值范圍；
（3）設(shè)G點(diǎn)坐標(biāo)為（a，0），則a＜0．根據(jù)等角對等邊得出GB=GA，由此列出方程a²+3²=（1-a）²，解方程求出a的值，即可得到G點(diǎn)坐標(biāo)；
（4）先根據(jù)正切函數(shù)的定義得出tan∠ABO=，由于∠QCA=∠ABO，得到tan∠QCA=，再由直線斜率的意義可知直線QC的斜率|k|=，則k=±．由此可設(shè)直線QC的解析式為y=x+n，或y=-x+n，然后將C點(diǎn)坐標(biāo)（-3，0）代入，求出n的值，即可得到直線QC的解析式．
試題解析：(1) b=-2，c="3" ，C（-3,0）、B（0,3）
(2)過點(diǎn)P作PE⊥x軸于點(diǎn)E．
S=S_梯形PEOB﹣S_△BOD﹣S_△PDE=．
將y=－x²-2x+3代入得S=－x²-x+-﹣=－x²-x．
∴-3＜x＜0．
∴S關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為：S=－x²-（-3＜x＜0）．
（3）G（-4,0）
(4)存在
直線QC解析式為，或.
考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題．