Question

5．如圖1，是拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）圖象的一部分，已知拋物線的對(duì)稱軸為直線x=2，與x軸的一個(gè)交點(diǎn)是（-1，0）；
（1）補(bǔ)充完下列結(jié)論：abc＞0；4a-2b+c＞0；b²-4ac＞0
（2）如圖2，當(dāng)a=1時(shí)，一次函數(shù)y=2x-5與y=x²+bx+c交于A、C兩點(diǎn)，求不等式
2x-5＞x²+bx+c的解集．
（3）拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)P，使得PB+PC的值最��？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）由拋物線開(kāi)口方向得到a＞0，由拋物線的對(duì)稱軸為直線x=-$\frac{2a}$=2得到b＜0，由拋物線與y軸的交點(diǎn)在x軸下方得到c＜0，所以abc＞0；由x=-2時(shí)，函數(shù)值為正數(shù)得到4a-2b+c＞0；由拋物線與x軸有2個(gè)交點(diǎn)得到b²-4ac＞0；
（2）利用對(duì)稱性求得B點(diǎn)坐標(biāo)，利用交點(diǎn)式求得函數(shù)解析式，整理成一般形式，得出一次函數(shù)y=2x-5與y=x²+bx+c交于A、C兩點(diǎn)，利用圖象求得2x-5＞x²+bx+c解集即可；
（3）利用對(duì)稱性求得C點(diǎn)對(duì)稱點(diǎn)C′的坐標(biāo)為（-2，7），進(jìn)一步求得直線BC′解析式，確定點(diǎn)P的坐標(biāo)即可．

解答 解：（1）abc＞0；4a-2b+c＞0；b²-4ac＞0；
（2）由已知B為（-1，0）關(guān)于直線x=2的對(duì)稱點(diǎn)，
∴B點(diǎn)坐標(biāo)為（5，0），
∴拋物線的解析式為：y=（x+1）（x-5），
當(dāng)2x-5=x²-4x-5時(shí)，x₁=0，x₂=6，
由圖可知：0＜x＜6為原不等式的解集；
（3）存在點(diǎn)P．

理由如下：由（2）可知：當(dāng)x=6時(shí)，y=7
∴C點(diǎn)坐標(biāo)為（6，7），
C′點(diǎn)為C點(diǎn)關(guān)于直線x=2的對(duì)稱點(diǎn)，則C′的坐標(biāo)為（-2，7），
設(shè)直線BC′的方程為：y=mx+n，
則$\left\{\begin{array}{l}{-2m+n=7}\\{5m+n=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{m=-1}\\{n=5}\end{array}\right.$，
即y=-x+5，
當(dāng)x=2時(shí)，y=3即P點(diǎn)坐標(biāo)為（2，3）．

點(diǎn)評(píng) 此題考查二次函數(shù)綜合題，待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，一次函數(shù)與二次函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題，利用圖象解決不等關(guān)系，以及利用對(duì)稱性求最短距離，綜合性較強(qiáng)．