如圖,在梯形ABCD中,AB∥CD,∠BCD=90°,E是梯形內(nèi)一點,F(xiàn)是梯形外一點,∠EDC=∠FBC,DE=BF,且AB=1,BC=2,tan∠ADC=2.
(1)求證:CE=CF;
(2)當(dāng)BE:CE=1:2,∠BEC=135°,求cos∠BFE的值.
分析:(1)過A作AP⊥CD于P,得出平行四邊形APCB,求出AP=BC=2,AB=CP=1,根據(jù)解直角三角形求出DP=1,求出DC=BC,根據(jù)SAS證△EDC≌△FBC即可;
(2)根據(jù)全等求出CE=CF,求出∠ECF=90°,求出∠CEF=45°,求出∠BEF=90°,根據(jù)勾股定理求出EF、BF在Rt△BEF中.解直角三角形求出即可.
解答:(1)證明:過A作AP⊥CD于P,
∵∠BCD=90°,
∴BC⊥CD,
∴AP∥BC,
∵AB∥CP,
∴四邊形APCB是平行四邊形,
∴AP=BC=2,AB=CP=1,
∵tan∠ACD=
AP
DP
=2,
∴DP=1,
∴DC=1+1=2=BC,
在△EDC和△FBC中
DE=BF
∠EDC=∠FBC
DC=BC

∴△EDC≌△FBC(SAS),
∴CE=CF;

(2)解:∵△FBC≌△EDC(已證)
∴∠BCF=∠DCE
又∵∠DCE+∠ECB=∠DCB=90°
∴∠BCF+∠ECB=90°,即CE⊥CF.
∴∠ECF=90°,∠CEF=∠CFE=45°,
∵∠BEC=135°,
∴∠BEF=135°-45°=90°,
設(shè)BE=a,則CF=CE=2a.
在Rt△ECF中,由勾股定理得:EF=2
2
a,
在Rt△BEF中,BF=
(2
2
a)2+a2
=3a,
故cos∠BFE=
EF
BF
=
2
2
a
3a
=
2
2
3
點評:本題考查了平行四邊形的性質(zhì)和判定,解直角三角形,勾股定理,直角梯形的性質(zhì),全等三角形的性質(zhì)和判定,等腰直角三角形的性質(zhì)等知識點的綜合運用.
練習(xí)冊系列答案
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11、如圖,在梯形ABCD中,AB∥CD,對角線AC、BD交于點O,則S△AOD
=
S△BOC.(填“>”、“=”或“<”)

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38.4

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A、3cmB、7cmC、3cm或7cmD、2cm

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