Question

5．如圖1，在?ABCD中，E為DC延長線上一點，且CD=CE，AE交BC于點F
（1）求證：BF=$\frac{1}{2}$BC；
（2）如圖2，若在?ABCD的外部有一點P，使得PA=PQ，PC=PD且∠APQ=∠CPD=90°，若AD=1，求BQ的長．

Answer 1

分析 （1）由平行四邊形的性質得出AB=CD，AD∥BC，BC=AD=1，AB∥CD，得出∠B=∠ECF，證出AB=EC，由AAS證明△ABF≌△ECF，得出BF=CF=$\frac{1}{2}$BC即可；（2）連接QC，交AD于點E，證出∠QPC=∠APD，由SAS△QPC≌△PAD，得出QC=AD=1，∠QCP=∠ADP，得出BC=QC，由三角形內角和定理得：∠DEC=∠CPD=90°，由平行線的性質得出∠BCQ=∠DEC=90°，證出△BCQ是等腰直角三角形，得出BQ=$\sqrt{2}$BC=$\sqrt{2}$即可．

解答 （1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB=CD，AD∥BC，BC=AD=1，AB∥CD，
∴∠B=∠ECF，
∵CD=CE，
∴AB=EC，
在△ABF和△ECF中，$\left\{\begin{array}{l}{∠B=∠ECF}&{\;}\\{∠AFB=∠EFC}&{\;}\\{AB=EC}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ABF≌△ECF（AAS），
∴BF=CF=$\frac{1}{2}$BC；
（2）解：連接QC，交AD于點E，如圖所示：
∵∠APQ=∠CPD=90°，
∴∠QPC=∠APD，
在△QPC和△PAD中，$\left\{\begin{array}{l}{QP=AP}&{\;}\\{∠QPC=∠APD}&{\;}\\{PC=PD}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△QPC≌△PAD（SAS），
∴QC=AD=1，∠QCP=∠ADP，
∴BC=QC，
設AD、PC交于點F，
由三角形內角和定理得：∠DEC=∠CPD=90°，
∵AD∥BC，
∴∠BCQ=∠DEC=90°，
∴△BCQ是等腰直角三角形，
∴BQ=$\sqrt{2}$BC=$\sqrt{2}$．

點評 本題考查了平行四邊形的性質、全等三角形的判定與性質、三角形內角和定理、平行線的性質、等腰直角三角形的判定與性質、勾股定理等知識；本題綜合性強，有一定難度，證明三角形全等是解決問題的關鍵．