Question

如圖，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD=1，AB=2，DC=2

2

，點P在BC邊上運動（與B、C不重合），設PC=x，四邊形ABPD的面積為y．
（1）求y與x的函數關系式，并寫出自變量x的取值范圍；
（2）若以點D為圓心，

1

2

為半徑作⊙D；以點P為圓心，以PC長為半徑作⊙P，當x為何值時，⊙D與⊙P相切？并求出這兩圓相切時四邊形ABPD的面積．

Answer 1

考點：相切兩圓的性質,直角梯形

專題：代數幾何綜合題

分析：（1）如圖作DE⊥BC于E，由矩形的性質可以得出DE=AB，由勾股定理可以得出EC的值，進而表示出EP．從而求出BP，再根據梯形的面積公式可以表示出梯形的面積就可以表示出y與x之間的函數的關系式．由點P不與B、C重合，從而可以得出x的范圍．
（2）設PC=x時，⊙D與⊙P外切或內切時，分別分析求出x的值，代入（1）的解析式就可以求出四邊形ABPD的面積．

解答：解：作DE⊥BC于E，
∴∠BED=90°，
∵AB⊥BC，
∴∠B=90°
∵AD∥BC，
∴∠A=90°，
∴四邊形ABED是矩形．
∴AD=BE，AB=DE，
∵AD=1，AB=2，
∴BE=1，DE=2，
在Rt△DEC中，由勾股定理，得
EC=

DC2-DE2

=

(2 2 ) 2-4

=2，
∴BC=3，
∵PC=x，
∴BP=3-x，
y=

1

2

×2×（1+3-x）
=-x+4．
∵P點與B、C不重合，
∴0＜x＜3．

（2）解：當圓P與圓D外切時，如圖所示：

過D作DE⊥BC，交BC于點E，可得∠DEP=90°，
∵直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，
∴∠A=∠B=90°，
∴四邊形ABED為矩形，又AD=1，AB=2，
∴AB=DE=2，AD=BE=1，
在Rt△CED中，DC=2

2

，DE=2，
根據勾股定理得：EC=

DC2-DE2

=2，
∴EP=EC-PC=2-x，
∵圓D與圓P外切，圓D半徑為

1

2

，圓P半徑為x，
∴DP=

1

2

+x，
在Rt△DEP中，根據勾股定理得：DP²=DE²+EP²，
即（

1

2

+x）²=2²+（2-x）²，
解得：x=

31

20

；
即x=

31

20

時⊙D與⊙P外切．
此時S_{四邊形ABPD}=-

31

20

+4=

49

20

．
當圓P與圓D內切時，如圖所示：

過D作DE⊥BC，交BC于點E，可得∠DEP=90°，
∵直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，
∴∠A=∠B=90°，
∴四邊形ABED為矩形，又AD=1，AB=2，
∴AB=DE=2，AD=BE=1，
在Rt△CED中，DC=2

2

，DE=2，
根據勾股定理得：EC=

DC2-DE2

=2，
∴EP=EC-PC=2-x，
∵圓D與圓P內切，圓D半徑為

1

2

，圓P半徑為x，
∴DP=x-

1

2

，
在Rt△DEP中，根據勾股定理得：DP²=DE²+EP²，
即（x-

1

2

）²=2²+（2-x）²，
解得：x=

31

12

，
綜上，當x=

31

20

或

31

12

時，圓D與圓P相切．
即x=

31

12

時⊙D與⊙P內切．
此時S_{四邊形ABPD}=-

31

12

+4=

17

12

．

點評：本題主要考查了直角梯形的性質，函數自變量的取值范圍，相切兩圓的性質，梯形的面積及勾股定理的運用，題目具有綜合性，難度適中．