5.△ABC中,∠ABC的平分線與∠ACB的外角∠ACM的平分線交于點(diǎn)E.

(1)如圖1,若∠A=70°,則∠E=35°;如圖2,若∠A=90°,則∠E=45°;如圖3,若∠A=130°,求∠E=65°
(2)根據(jù)以上求解的過(guò)程,你發(fā)現(xiàn)∠A與∠E之間有什么關(guān)系?如果有關(guān),寫(xiě)出你的發(fā)現(xiàn)過(guò)程;如果沒(méi)有,請(qǐng)說(shuō)明理由(借助圖①)
(3)如圖△ABC中,∠A=96°,延長(zhǎng)BC到D,∠ABC的平分線與∠ACD的平分線交于點(diǎn)A1,∠A1BC的平分線與∠A1CD的平分線交于點(diǎn)A2,以此類(lèi)推,∠A4BC的平分線與∠A4CD的平分線交于點(diǎn)A5,則∠A5的大小是3°.

分析 (1)根據(jù)三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和可得∠ACD=∠A+∠ABC,∠ECD=∠E+∠EBC,再根據(jù)角平分線的定義可得∠EBC=$\frac{1}{2}$∠ABC,∠ECD=$\frac{1}{2}$∠ACD,然后整理得到∠E=$\frac{1}{2}$∠A,再分別代入數(shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)算即可得解;
(2)根據(jù)三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和可得∠ACD=∠A+∠ABC,∠ECD=∠E+∠EBC,再根據(jù)角平分線的定義可得∠EBC=$\frac{1}{2}$∠ABC,∠ECD=$\frac{1}{2}$∠ACD,然后整理得到∠E=$\frac{1}{2}$∠A;
(3)先利用外角等于不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角之和,以及角平分線的性質(zhì)求∠A1=$\frac{1}{2}$∠A,再依此類(lèi)推得,∠A2=$\frac{1}{{2}^{2}}$∠A;…∠A5=$\frac{1}{{2}^{5}}$∠A;找出規(guī)律,從而求∠A5的值.

解答 解:(1)由三角形的外角性質(zhì)得,∠ACD=∠A+∠ABC,∠ECD=∠E+∠EBC,
∵∠ABC的平分線與∠ACB的外角∠ACM的平分線交于點(diǎn)E,
∴∠EBC=$\frac{1}{2}$∠ABC,∠ECD=$\frac{1}{2}$∠ACD,
∴∠E+∠EBC=$\frac{1}{2}$(∠A+∠ABC),
∴∠E=$\frac{1}{2}$∠A,
若∠A=70°時(shí),∠E=$\frac{1}{2}$×70°=35°;
若∠A=90°時(shí),∠E=$\frac{1}{2}$×90°=45°,
若∠A=130°時(shí),∠E=$\frac{1}{2}$×130°=65°;
故答案為:35°,45°,65°;

(2)由三角形的外角性質(zhì)得,∠ACD=∠A+∠ABC,∠ECD=∠E+∠EBC,
∵∠ABC的平分線與∠ACB的外角∠ACM的平分線交于點(diǎn)E,
∴∠EBC=$\frac{1}{2}$∠ABC,∠ECD=$\frac{1}{2}$∠ACD,
∴∠E+∠EBC=$\frac{1}{2}$(∠A+∠ABC),
∴∠E=$\frac{1}{2}$∠A;

(3)∵∠BA1C+∠A1BC=∠A1CD,2∠A1CD=∠ACD=∠BAC+∠ABC,
∴2(∠BA1C+∠A1BC)=∠BAC+∠ABC,2∠BA1C+2∠A1BC=∠BAC+∠ABC,
而2∠A1BC=∠ABC,
∴2∠BA1C=∠BAC,
同理,可得2∠BA2C=∠BA1C,2∠BA3C=∠BA2C,2∠BA4C=∠BA3C,2∠BA5C=∠BA4C,
∴∠BA5C=$\frac{1}{2}$∠BA4C=$\frac{1}{4}$∠BA3C=$\frac{1}{8}$∠BA2C=$\frac{1}{16}$∠BA1C=$\frac{1}{32}$∠BAC=96°÷32=3°,
故∠A5=3°.
故答案為:3°.

點(diǎn)評(píng) 本題考查了三角形的內(nèi)角和定理,三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和的性質(zhì),角平分線的定義,熟記性質(zhì)并整體思想的利用是解題的關(guān)鍵.

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