Question

如圖，已知在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形ABCO是梯形，且BC∥AO，其中A（6，0），B（3，），∠AOC=60°，動點(diǎn)P從點(diǎn)O以每秒2個單位的速度向點(diǎn)A運(yùn)動，動點(diǎn)Q也同時從點(diǎn)B沿B→C→O的線路以每秒1個單位的速度向點(diǎn)O運(yùn)動，當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)A點(diǎn)時，點(diǎn)Q也隨之停止，設(shè)點(diǎn)P，Q運(yùn)動的時間為t（秒）．

（1）求點(diǎn)C的坐標(biāo)及梯形ABCO的面積；
（2）當(dāng)點(diǎn)Q在CO邊上運(yùn)動時，求△OPQ的面積S與運(yùn)動時間t的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量t的取值范圍；
（3）以O(shè)，P，Q為頂點(diǎn)的三角形能構(gòu)成直角三角形嗎？若能，請求出t的值；若不能，請說明理由．

Answer 1

（1）   （2）（）  （3）當(dāng)t=1或t=2時，△OPQ為直角三角形

試題分析：（1）作CM⊥OA于點(diǎn)M,知CM,由∠AOC=60°易求BM=1，求出C點(diǎn)坐標(biāo)；由B點(diǎn)坐標(biāo)可求BC的長，從而梯形面積可求；
（2）用含有t的代數(shù)式分別表示△OPQ的高和底，求出△OPQ的的面積即可表示出S與運(yùn)動時間t的函數(shù)關(guān)系式；
（3）分點(diǎn)Q分別在邊BC、OC、OA上運(yùn)動時進(jìn)行討論，即可求出t的值.
試題解析:（1）作CM⊥OA于點(diǎn)M,
∵∠AOC=60°，∴∠OCM=30°，
∵B（3，），BC∥AO，∴CM,
設(shè)OM=，則OC=，∴
解得，∴OM=1，OC=2，
∴C（1，），
∵B（3，），∴BC=2，
∵A（6，0），∴OA=6，
∴,
(2)如圖1，當(dāng)動點(diǎn)Q運(yùn)動到OC邊時，OQ=，
作QG⊥OP，∴∠OQG=30°，

∴，∴，
又∵OP=2t，
∴
（）；
（3）根據(jù)題意得出：，
當(dāng)時，Q在BC邊上運(yùn)動，延長BC交y軸于點(diǎn)D，
此時OP=2t，，，
∵∠POQ＜∠POC=60°，
∴若△OPQ為直角三角形，只能是∠OPQ=90°或∠OQP=90°，
若∠OPQ=90°，如圖2，則∠PQD=90°，

∴四邊形PQDO為矩形，
∴OP=QD，∴2t=3-t，
解得t=1，
若∠OQP=90°，如圖3，則OQ²+PQ²=PO²，

即，
解得：t₁=t₂=2，
當(dāng)時，Q在OC邊上運(yùn)動，
若∠OQP=90°，
∵∠POQ=60°，∴∠OPQ=30°，
∴，
若∠OPQ=90°,同理：,
而此時OP=2t＞4，OQ＜OC=2，
∴，,
故當(dāng)Q在OC邊上運(yùn)動時，△OPQ不可能為直角三角形，
綜上所述，當(dāng)t=1或t=2時，△OPQ為直角三角形。
考點(diǎn): 1.二次函數(shù)；2.直角三角形的判定.