Question

已知直線y=x+6交x軸于點(diǎn)A，交y軸于點(diǎn)C，經(jīng)過A和原點(diǎn)O的拋物線y=ax²+bx(a＜0）的頂點(diǎn)B在直線AC上.

（1）求拋物線的函數(shù)關(guān)系式；
（2）以B點(diǎn)為圓心，以AB為半徑作⊙B，將⊙B沿x軸翻折得到⊙D，試判斷直線AC與⊙D的位置關(guān)系，并說明理由；
（3）若E為⊙B優(yōu)弧上一動(dòng)點(diǎn),連結(jié)AE、OE，問在拋物線上是否存在一點(diǎn)M，使∠MOA︰∠AEO=2︰3，若存在，試求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，試說明理由.

Answer 1

（1）該拋物線的函數(shù)關(guān)系式為y=﹣x²﹣2x；
（2）相切，理由見解析；
（3）存在這樣的點(diǎn)M ，M的坐標(biāo)為（﹣6+，﹣1+2）或（﹣6﹣，﹣1﹣2）．

試題分析：（1）根據(jù)過A、C兩點(diǎn)的直線的解析式即可求出A，C的坐標(biāo)，根據(jù)A，O的坐標(biāo)即可得出拋物線的對(duì)稱軸的解析式，然后將A點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線中，聯(lián)立上述兩式即可求出拋物線的解析式．
（2）直線與圓的位置關(guān)系無非是相切與否，可連接AD，證AD是否與AC垂直即可．由于B，D關(guān)于x軸對(duì)稱，那么可得出∠CAO=∠DAO=45°，因此可求出∠DAB=90°，即DA⊥AC，因此AC與圓D相切．
（3）根據(jù)圓周角定理可得出∠AEO=45°，那么∠MOA=30°，即M點(diǎn)的縱坐標(biāo)的絕對(duì)值和橫坐標(biāo)的絕對(duì)值的比為tan30°，由此可得出x，y的比例關(guān)系式，然后聯(lián)立拋物線的解析式即可求出M點(diǎn)的坐標(biāo)．（要注意的是本題要分點(diǎn)M在x軸上方還是下方兩種情況進(jìn)行求解）．
試題解析：（1）根據(jù)題意知：A（﹣6，0），C（0，6）
∵拋物線y=ax²+bx（a＜0）經(jīng)過A（﹣6，0），0（0，0）．
∴對(duì)稱軸x==﹣3，b=6a…①
當(dāng)x=﹣3時(shí)，代入y=x+6得y=﹣3+6=3，
∴B點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣3，3）．
∵點(diǎn)B在拋物線y=ax²+bx上，
∴3=9a﹣3b…②
結(jié)合①②解得a=﹣，b=﹣2，
∴該拋物線的函數(shù)關(guān)系式為y=﹣x²﹣2x；
（2）相切
理由：連接AD，
∵AO=OC
∴∠ACO=∠CAO=45°
∵⊙B與⊙D關(guān)于x軸對(duì)稱
∴∠BAO=∠DAO=45°
∴∠BAD=90°
又∵AD是⊙D的半徑，
∴AC與⊙D相切．
∵拋物線的函數(shù)關(guān)系式為y=﹣x²﹣2x，
∴函數(shù)頂點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣3，3），
由于D、B關(guān)于x軸對(duì)稱，
則BD=3×2=6；
（3）存在這樣的點(diǎn)M．
設(shè)M點(diǎn)的坐標(biāo)為（x，y）
∵∠AEO=∠ACO=45°
而∠MOA：∠AEO=2：3
∴∠MOA=30°
當(dāng)點(diǎn)M在x軸上方時(shí)，=tan30°=，
∴y=﹣x．
∵點(diǎn)M在拋物線y=﹣x²﹣2x上，
∴﹣x=﹣x²﹣2x，
解得x=﹣6+，x=0（不合題意，舍去）
∴M（﹣6+，﹣1+2）．
當(dāng)點(diǎn)M在x軸下方時(shí)，=tan30°=，
∴y=x，
∵點(diǎn)M在拋物線y=﹣x²﹣2x上．
∴x=﹣x²﹣2x，
解得x=﹣6﹣，x=0（不合題意，舍去）．
∴M（﹣6﹣，﹣1﹣2），
∴M的坐標(biāo)為（﹣6+，﹣1+2）或（﹣6﹣，﹣1﹣2）．
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