Question

13．△ABC為等腰直角三角形，∠ABC=90°，點D在AB邊上（不與點A、B重合），以CD為腰作等腰直角△CDE，∠DCE=90°．
（1）如圖1，作EF⊥BC于F，求證：△DBC≌△CFE；
（2）在圖1中，連接AE交BC于M，求$\frac{AD}{BM}$的值；
（3）如圖2，過點E作EH⊥CE交CB的延長線于點H，過點D作DG⊥DC，交AC于點G，連接GH，當(dāng)點D在邊AB上運動時，探究線段HE，HG與DG之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)倫．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到CD=CE，再利用等角的余角相等得到∠DCB=∠CEF，然后根據(jù)“AAS”可證明△DBC≌△CFE；
（2）由△DBC≌△CFE得到BD=CF，BC=EF，再利用△ABC為等腰直角三角形得到AB=BC，所以AB=EF，AD=BF，接著證明△ABM≌△EFM，得到BM=FM，所以$\frac{AD}{BM}$=2；
（3）在EH上截取EQ=DG，如圖2，先證明△CDG≌△CEQ得到CG=CQ，∠DCG=∠ECQ，由于∠DCG+∠DCB=45°，則∠ECQ+∠DCB=45°，所以∠HCQ=45°，再證明△HCG≌△HCQ，則得到HG=HQ，然后可計算出HE=GD+GH．

解答 （1）證明：∵△CDE為等腰直角三角形，∠DCE=90°．
∴CD=CE，∠DCB+∠ECF=90°，
∵EF⊥BC，
∴∠ECF+∠CEF=90°，
∴∠DCB=∠CEF，
在△DBC和△CEF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DBC=∠CFE}\\{∠DCB=∠CEF}\\{CD=EC}\end{array}\right.$，
∴△DBC≌△CFE；

（2）解：如圖1，
∵△DBC≌△CFE，
∴BD=CF，BC=EF，
∵△ABC為等腰直角三角形，
∴AB=BC，
∴AB=EF，AD=BF，
在△ABM和△EFM中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AMB=∠EMF}\\{∠ABM=∠EFM}\\{AB=EF}\end{array}\right.$，
∴△ABM≌△EFM，
∴BM=FM，
∴BF=2BM，
∴AD=2BM，
∴$\frac{AD}{BM}$的值為2；

（3）解：HE=GH+GD，
在EH上截取EQ=DG，如圖2，
在△CDG和△CEQ中
$\left\{\begin{array}{l}{DG=EQ}\\{∠CDG=∠CEQ}\\{CD=CE}\end{array}\right.$，
∴△CDG≌△CEQ，
∴CG=CQ，∠DCG=∠ECQ，
∵∠DCG+∠DCB=45°，
∴∠ECQ+∠DCB=45°，
而∠DCE=90°，
∴∠HCQ=45°，
∴∠HCQ=∠HCG，
在△HCG和△HCQ中，
$\left\{\begin{array}{l}{HC=HC}\\{∠HCG=∠HCQ}\\{CG=CQ}\end{array}\right.$，
∴△HCG≌△HCQ，
∴HG=HQ，
∴HE=HQ+QE=HG+DG．

點評 此題是三角形綜合題，主要考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)：全等三角形的判定是結(jié)合全等三角形的性質(zhì)證明線段和角相等的重要工具．在判定三角形全等時，關(guān)鍵是選擇恰當(dāng)?shù)呐卸�條件．在應(yīng)用全等三角形的判定時，要注意三角形間的公共邊和公共角，必要時添加適當(dāng)輔助線構(gòu)造三角形．