Question

如圖1所示，一張三角形紙片ABC，∠ACB=90°，AC=8，BC=6．沿斜邊AB的中線CD把這張紙片剪成△AC₁D₁和△BC₂D₂兩個(gè)三角形（如圖所示）．將紙片△AC₁D₁沿直線D₂B（AB）方向平移（點(diǎn)A，D₁，D₂，B始終在同一直線上），當(dāng)點(diǎn)D₁于點(diǎn)B重合時(shí)，停止平移．在平移過程中，C₁D₁與BC₂交于點(diǎn)E，AC₁與C₂D₂、BC₂分別交于點(diǎn)F、P．
（1）當(dāng)△AC₁D₁平移到如圖3所示的位置時(shí)，猜想圖中的D₁E與D₂F的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想；
（2）設(shè)平移距離D₂D₁為x，△AC₁D₁與△BC₂D₂重疊部分面積為y，請(qǐng)寫出y與x的函數(shù)關(guān)系式，以及自變量的取值范圍；
（3）對(duì)于（2）中的結(jié)論是否存在這樣的x的值使得y=

1

4

S_△ABC；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

（1）D₁E=D₂F．
∵C₁D₁∥C₂D₂，
∴∠C₁=∠AFD₂．
又∵∠ACB=90°，CD是斜邊上的中線，
∴DC=DA=DB，即C₁D₁=C₂D₂=BD₂=AD₁
∴∠C₁=∠A，
∴∠AFD₂=∠A
∴AD₂=D₂F．
同理：BD₁=D₁E．
又∵AD₁=BD₂，
∴AD₂=BD₁．
∴D₁E=D₂F．

（2）∵在Rt△ABC中，AC=8，BC=6，
∴由勾股定理，得AB=10．
即AD₁=BD₂=C₁D₁=C₂D₂=5
又∵D₂D₁=x，
∴D₁E=BD₁=D₂F=AD₂=5-x．
∴C₂F=C₁E=x
在△BC₂D₂中，C₂到BD₂的距離就是△ABC的AB邊上的高，為

24

5

．
設(shè)△BED₁的BD₁邊上的高為h，
由探究，得△BC₂D₂∽△BED₁，
∴

h

24 5

=

5-x

5

．
∴h=

24(5-x)

25

．S_△BED1=

1

2

×BD₁×h=

12

25

（5-x）²
又∵∠C₁+∠C₂=90°，
∴∠FPC₂=90度．
又∵∠C₂=∠B，sinB=

4

5

，cosB=

3

5

．
∴PC₂=

3

5

x，PF=

4

5

x，S_△FC2P=

1

2

PC₂×PF=

6

25

x²
而y=S_△BC2D2-S_△BED1-S_△FC2P=

1

2

S_△ABC-

12

25

（5-x）²-

6

25

x²
∴y=-

18

25

x²+

24

5

x（0≤x≤5）．

（3）存在．
當(dāng)y=

1

4

S_△ABC時(shí)，即-

18

25

x²+

24

5

x=6，
整理得3x²-20x+25=0．
解得，x₁=

5

3

，x₂=5．
即當(dāng)x=

5

3

或x=5時(shí)，重疊部分的面積等于原△ABC面積的

1

4

．