Question

3．已知雙曲線y=$\frac{k}{x}$與直線y=$\frac{1}{4}$x相交于A、B兩點(diǎn)，第一象限上的點(diǎn)M（m，n）（在A點(diǎn)左側(cè)）是雙曲線的動點(diǎn)，過點(diǎn)B作BD∥于y軸于點(diǎn)D，過N（-，-n）作NC∥x軸交雙曲線于點(diǎn)E，交BD于點(diǎn)C．若B是CD的中點(diǎn)，四邊形OBCE的面積為4，則直線CM的解析式為y=$\frac{2}{3}$x+$\frac{2}{3}$．

Answer 1

分析 根據(jù)一次函數(shù)和反比例函數(shù)的性質(zhì)及點(diǎn)的坐標(biāo)和解析式的關(guān)系解答．

解答 解：設(shè)B點(diǎn)坐標(biāo)為（x₁，-$\frac{n}{2}$），代入y=$\frac{1}{4}$x得，-$\frac{n}{2}$=$\frac{1}{4}$x₁，x₁=-2n；
∴B點(diǎn)坐標(biāo)為（-2n，-$\frac{n}{2}$）．
因?yàn)锽D∥y軸，所以C點(diǎn)坐標(biāo)為（-2n，-n）．
因?yàn)樗倪呅蜲DCN的面積為2n•n=2n²，三角形ODB，三角形OEN的面積均為$\frac{k}{2}$，四邊形OBCE的面積為4．
則有2n²-k=4---①；
又因?yàn)?n•$\frac{n}{2}$=k，即n²=k---②
②代入①得，4=2k-k，解得k=4；則解析式為y=$\frac{4}{x}$；
又因?yàn)閚²=4，故n=2或n=-2．
M在第一象限，n＞0；
將M（m，2）代入解析式y(tǒng)=$\frac{4}{x}$，得m=2．故M點(diǎn)坐標(biāo)為（2，2）；C（-4，-2）；
設(shè)直線CM解析式為y=kx+b，則$\left\{\begin{array}{l}{2k+b=2}\\{-4k+b=-2}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{2}{3}}\\{b=\frac{2}{3}}\end{array}\right.$
∴一次函數(shù)解析式為：y=$\frac{2}{3}$x+$\frac{2}{3}$．
故答案為：y=$\frac{2}{3}$x+$\frac{2}{3}$．

點(diǎn)評 此題主要考查了待定系數(shù)法函數(shù)解析式以及一次函數(shù)與反比例函數(shù)交點(diǎn)的性質(zhì)，根據(jù)四邊形OBCE的面積為4得出k的值是解決問題的關(guān)鍵．