Question

在△ABC中，∠A=90°，BC=10，tan∠ABC=3:4，M是AB上的動點（不與A，B重合），過M點作MN∥BC交AC于點N，以AM、AN為鄰邊作矩形AMPN，其對角線交點為G。直線MP、NP分別與邊BC相交于點E、F，設AP=x。

圖1                        圖2
（1）求AB、AC的長；
（2）如圖2，當點P落在BC上時，求x的值；
（3）當EF=5時，求x的值；
（4）在動點M的運動過程中，記△MNP與梯形BCNM重合部分的面積為y。試求y關于x的函數(shù)表達式，并求出y的最大值。

Answer 1

（1）AB="8,AC=6;" (2) x=5；(3)x=2.5或7.5 （4）當0<x≤5時,;；當5<x<10時,
;

試題分析：（1）在△ABC中，∠A=90°，BC=10，tan∠ABC=3:4，而根據(jù)三角函數(shù)tan∠ABC=，令AC=3K；AB=4K；）在△ABC中由勾股定理解得K=2；所以AB=8,AC=6;
(2) 在△ABC中，∠A=90°，當點P落在BC上時以AM、AN為鄰邊作矩形AMPN，那么點P是BC的中點，所以AP是直角三角形斜邊上的中線，等于斜邊的一半，所以x=5；
(3) 當EF=5時；根據(jù)題意BF=CE=2.5;∵MN//BC，NF//AB，ME//AC ∴四邊形BFNM和四邊形CEMN都是平行四邊形（兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形），∴MN=BF；矩形AMPN，所以AP=MN=2.5;同理解得AP=7.5；所以x=2.5或7.5；
（4）當0<x≤5時,;
當5<x<10時,
;
故
點評：本題主要考查平行四邊形的判定方法和性質，矩形的性質，對它們的熟練掌握是解本題的關鍵