Question

如圖，已知正△A₁B₁C₁邊長(zhǎng)為1，分別取△A₁B₁C₁三邊的中點(diǎn)A₂，B₂，C₂，得到△A₂B₂C₂，用同樣的方法，得到△A₃B₃C₃，依此下去，正△A_nB_nC_n的面積是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：三角形中位線定理,等邊三角形的性質(zhì)

專題：規(guī)律型

分析：根據(jù)三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半分別求出各三角形的邊長(zhǎng)，再根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)求解即可．

解答：解：由題意得，△A₂B₂C₂的邊長(zhǎng)為

1

2

，
△A₃B₃C₃的邊長(zhǎng)為（

1

2

）²，
△A₄B₄C₄的邊長(zhǎng)為（

1

2

）³，
…，
△A_nB_nC_n的邊長(zhǎng)為（

1

2

）^n-1，
所以，正△A_nB_nC_n的面積為

1

2

×[

3

2

×（

1

2

）^n-1]×（

1

2

）^n-1=

3

4

×（

1

4

）^n-1．
故答案為：

3

4

×（

1

4

）^n-1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半，等邊三角形的性質(zhì)，熟記定理并求出第n個(gè)等邊三角形的邊長(zhǎng)是解題的關(guān)鍵．