(2006•梅州)如圖,點(diǎn)A在拋物線y=x2上,過點(diǎn)A作與x軸平行的直線交拋物線于點(diǎn)B,延長AO,BO分別與拋物線y=-x2相交于點(diǎn)C,D,連接AD,BC,設(shè)點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為m,且m>0.
(1)當(dāng)m=1時(shí),求點(diǎn)A,B,D的坐標(biāo);
(2)當(dāng)m為何值時(shí),四邊形ABCD的兩條對(duì)角線互相垂直;
(3)猜想線段AB與CD之間的數(shù)量關(guān)系,并證明你的結(jié)論.

【答案】分析:(1)根據(jù)題意得點(diǎn)A的坐標(biāo)是將x=1代入即可,根據(jù)對(duì)稱性可得點(diǎn)B的坐標(biāo),即可得OB的解析式,與二次函數(shù)的解析式組成方程組即可求得點(diǎn)D的坐標(biāo);
(2)當(dāng)四邊形ABCD的兩對(duì)角線互相垂直時(shí),由對(duì)稱性得直線AO與x軸的夾角等于45°所以點(diǎn)A的縱、橫坐標(biāo)相等,根據(jù)點(diǎn)A在二次函數(shù)y=x2上,即可求得m的值;
(3)根據(jù)題意求得點(diǎn)A,B的坐標(biāo),求得AC的長與BD的解析式,即可求得點(diǎn)D與C的坐標(biāo),求得CD的長,可得CD=2AB.
解答:解:(1)∵點(diǎn)A在拋物線y=x2上,且x=m=1,
∴A(1,),(1分)
∵點(diǎn)B與點(diǎn)A關(guān)于y軸對(duì)稱,
∴B(-1,).(2分)
設(shè)直線BD的解析式為y=kx,
∴k=-,
∴y=-x.(3分)
解方程組,
得D(2,-).(4分)

(2)當(dāng)四邊形ABCD的兩對(duì)角線互相垂直時(shí),
由對(duì)稱性得直線AO與x軸的夾角等于45°
所以點(diǎn)A的縱、橫坐標(biāo)相等,(5分)
這時(shí),
設(shè)A(a,a),代入y=x2,
得a=4,
∴A(4,4),
∴m=4.
即當(dāng)m=4時(shí),四邊形ABCD的兩條對(duì)角線互相垂直.(7分)

(3)線段CD=2AB.(8分)
證明:∵點(diǎn)A在拋物線y=x2,且x=m,
∴A(m,m2),
得直線AO的解析式為y=x,
解方程組,
得點(diǎn)C(-2m,-)(9分)
由對(duì)稱性得點(diǎn)B(-m,m2),D(2m,-m2),(10分)
∴AB=2m,CD=4m,
∴CD=2AB.(11分)
點(diǎn)評(píng):此題考查了二次函數(shù)與一次函數(shù)的綜合知識(shí),要注意對(duì)稱性質(zhì)的應(yīng)用,要注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.
練習(xí)冊系列答案
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