Question

如圖，已知拋物線y=ax²+bx+c與x軸相交于A、B，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（10，0），頂點(diǎn)M的坐標(biāo)為（4，8），點(diǎn)P從點(diǎn)M出發(fā)，以每秒1個(gè)單位的速度沿線段MA向A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)；點(diǎn)Q從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒2個(gè)單位的速度沿AB向B點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，若P、Q同時(shí)出發(fā)，當(dāng)其中的一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒鐘．
（1）求拋物線的解析式；
（2）設(shè)△APQ的面積為S，求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式，△APQ的面積是否有最大值？若有，請(qǐng)求出其最大值；若沒(méi)有，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（3）當(dāng)t為何值時(shí)，△APQ為等腰三角形？

Answer 1

（1）設(shè)拋物線的解析式為y=a（x-4）²+8，把B（10，0）代入得，
36a+8=0，解得a=-

2

9

，
∴拋物線的解析式為y=-

2

9

(x-4)2+8；

（2）由拋物線的對(duì)稱性可知點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-2，0），過(guò)M作MC⊥x軸于點(diǎn)C，過(guò)P作⊥x軸于點(diǎn)H，則AC=6，MC=8，AM=10，
∵△PAH∽△MAC得，

PH

MC

=

AP

AM

，

PH

8

=

10-t

10

，解得PH=8-

4

5

t，
∴s=

1

2

×2t×(8-

4

5

t)=-

4

5

t2+8t（0≤t≤6），
∵a=-

4

5

＜0，
∴s有最大值，當(dāng)t=-

8

2×(- 4 5 )

=5時(shí)，s有最大值為20；

（3）由（2）得AP=10-t，PH=8-

4

5

t，AQ=2t，
由△PAH∽△MAC得AH：AC=AP：AM，即AH：6=（10-t）：10，AH=

3

5

（10-t），
∴QH=2t-AH=

13

5

t-6，PQ=

PH2+QH2

，
當(dāng)AP=AQ時(shí)，t=

10

3

；
當(dāng)AP=PQ時(shí)，t=

15

4

；
當(dāng)AQ=PQ時(shí)，t=

50

17

．