Question

已知：矩形ABCD中，AB=6，AD=8，將矩形頂點B沿GF折疊，使B落在AD上（不與A、D重合）的E處，點G、F分別在AB、BC上．
（1）不論點E在何處，試判斷△BFE的形狀；
（2）若AG：GB=1：2時，求證：EG平分∠AEB；
（3）若

AG

GB

=

1

4

，試求BF的長．

Answer 1

（1）證明：∵矩形頂點B沿GF折疊B落在AD上（不與A、D重合）的E處，
∴BF=EF，
∴△BEF是等腰三角形；

（2）證明：∵AG：GB=1：2，AB=6，
∴AG=6×

1

1+2

=2，GB=6×

2

1+2

=4，
由翻折性質(zhì)，EG=BG=4，
在Rt△AGE中，AE=

EG2-AG2

=

42-22

=2

3

，
∴

AG

AE

=

2

2 3

=

3

3

，

AE

AB

=

2 3

6

=

3

3

，
∴

AG

AE

=

AE

AB

，
又∵∠A=∠A，
∴△ABE∽△AEG，
∴∠AEG=∠ABE，
由EG=BF得，∠ABE=∠BEG，
∴∠AEG=∠BEG，
∴EG平分∠AEB；

（3）∵

AG

GB

=

1

4

，AB=6，
∴AG=6×

1

1+4

=

6

5

，BG=6×

4

1+4

=

24

5

，
由翻折性質(zhì)，EG=BG=

24

5

，
在Rt△AGE中，AE=

EG2-AG2

=

( 24 5 )2-( 6 5 )2

=

6 15

5

，
由翻折的性質(zhì)，∠EBF+∠BFG=90°，
∵∠ABE+∠EBF=∠ABC=90°，
∴∠ABE=∠BFG，
又∵∠A=∠ABF=90°，
∴△ABE∽△BFG，
∴

AE

BG

=

AB

BF

，
即

6 15 5

24 5

=

6

BF

，
解得BF=

8 15

5

．