Question

（2012•驛城區(qū)模擬）如圖，點(diǎn)P、Q分別是邊長為4cm的等邊△ABC邊AB、BC上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P從頂點(diǎn)A，點(diǎn)Q從頂點(diǎn)B同時(shí)出發(fā)，且它們的速度都為1cm/s．
（1）連接AQ、CP交于點(diǎn)M，則在P、Q運(yùn)動(dòng)的過程中，∠CMQ變化嗎？若變化，則說明理由，若不變，則求出它的度數(shù)；
（2）請(qǐng)求出何時(shí)△PBQ是直角三角形？

Answer 1

分析：（1）先根據(jù)全等三角形的判定定理得出△ABQ≌△CAP，由全等三角形的性質(zhì)可知∠BAQ=∠ACP，故
∠CMQ=∠ACP+∠CAM=∠BAQ+∠CAM=∠BAC=60°，故可得出結(jié)論；
（2）設(shè)時(shí)間為t秒，則AP=BQ=tcm，PB=（4-t）cm，當(dāng)∠PQB=90°時(shí)，因?yàn)椤螧=60°，所以PB=2BQ，即4-t=2t故可得出t的值，當(dāng)∠BPQ=90°時(shí)，同理可得BQ=2BP，即t=2（4-t），由此兩種情況即可得出結(jié)論．

解答：解：（1）不變，∠CMQ=60°．
∵△ABC是等邊三角形，
∴等邊三角形中，AB=AC，∠B=∠CAP=60°
又∵點(diǎn)P從頂點(diǎn)A，點(diǎn)Q從頂點(diǎn)B同時(shí)出發(fā)，且它們的速度都為1cm/s．
∴AP=BQ，
∴△ABQ≌△CAP（SAS），
∴∠BAQ=∠ACP，
∴∠CMQ=∠ACP+∠CAM=∠BAQ+∠CAM=∠BAC=60°；

（2）設(shè)時(shí)間為t秒，則AP=BQ=tcm，PB=（4-t）cm，
當(dāng)∠PQB=90°時(shí)，
∵∠B=60°，
∴PB=2BQ，即4-t=2t，t=

4

3

，
當(dāng)∠BPQ=90°時(shí)，
∵∠B=60°，
∴BQ=2BP，得t=2（4-t），t=

8

3

，
∴當(dāng)?shù)?span id="950kt9x" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">

4

3

秒或第

8

3

秒時(shí)，△PBQ為直角三角形．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的是等邊三角形的性質(zhì)及全等三角形的判定定理、直角三角形的性質(zhì)，熟知等邊三角形的三個(gè)內(nèi)角都是60°是解答此題的關(guān)鍵．