Question

設(shè)a₁、a₂、b₁、b₂都是實數(shù)，a₁≠a₂且(a₁＋b₁)(a₂＋b₂)＝(a₂＋b₁)(a₁＋b₂)＝1，求證：(a₁＋b₁)(a₂＋b₁)＝(a₁＋b₂)(a₂＋b₂)＝－1．

Answer 1

答案：
解析：

證明：按分析得到恒等式 　　(x＋b1)(x＋b2)－1＝(x－a1)(x－a2)． 　　令x＝－b1，得 　　(－b1－a1)(－b1－a2)＝－1 　　即(a1＋b1)(a2＋b1)＝－1； 　　令x＝－b2，得 　　(－b2－a1)(－b2－a2)＝－1， 　　即(a1＋b2)(a2＋b2)＝－1． 　　因此(a1＋b1)(a2＋b1)＝(a1＋b2)(a2＋b2)＝－1． 　　分析：用常規(guī)方法去做，繁瑣、易錯．仔細(xì)觀察分析，發(fā)現(xiàn)已知條件的含義是二次方程(x＋b1)(x＋b2)＝1有兩個不相等的實數(shù)根x1＝a1、x2＝a2，與(x－a1)(x－a2)＝0是同一個方程，于是有(x＋b1)(x＋b2)－1＝(x－a1)(x－a2)恒成立，配湊出這個恒等式，取特殊值x＝－b1，x＝－b2便能證得結(jié)果． 　　說明：巧妙構(gòu)造恒等式進(jìn)行配湊，使證明過程變得簡明、快捷． 　　由以上各例可以看出：巧妙進(jìn)行配湊常能找到解決問題的捷徑．同學(xué)們解題遇到困難，甚至一籌莫展時，不妨根據(jù)題目特點進(jìn)行配湊嘗試，或許能得到意外的驚喜．