Question

（2012•金東區(qū)一模）如圖，拋物線y=ax²+c經(jīng)過點B₁（1，

1

3

），B₂（2，

7

12

）．在該拋物線上取點B₃（3，y₃），B₄（4，y₄），…，B₁₀₀（100，y₁₀₀），在x軸上依次取點A₁，A₂，A₃，…，A₁₀₀，使△A₁B₁A₂，△A₂B₂A₃，△A₃B₃A₄，…，△A₁₀₀B₁₀₀A₁₀₁分別是以∠B₁，∠B₂，…，∠B₁₀₀為頂角的等腰三角形，設(shè)A₁的橫坐標(biāo)為t（0＜t＜1）．
（1）求該拋物線的解析式；
（2）記△A₁B₁A₂，△A₂B₂A₃，△A₃B₃A₄，…，A₁₀₀B₁₀₀A₁₀₁的面積分別為S₁，S₂，…，S₁₀₀，用含t的代數(shù)式分別表示S₁，S₂和S₁₀₀；
（3）在所有等腰三角形中是否存在直角三角形？若存在，請直接寫出t的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）把點B₁（1，

1

3

），B₂（2，

7

12

）代入拋物線解析式得到關(guān)于a、c的二元一次方程組，解方程組求出a、c的值，即可得解；
（2）根據(jù)點A₁的坐標(biāo)利用等腰三角形三線合一的性質(zhì)分別求出A₂、A₃的坐標(biāo)，然后求出A₁A₂、A₂A₃的長度，再根據(jù)三角形的面積公式列式計算即可求出S₁、S₂，依此類推求出求出A₃A₄、A₄A₅的長度，然后得出規(guī)律并表示出A₁₀₀A₁₀₁的長度，再把x=100代入拋物線解析式求出y₁₀₀，然后根據(jù)三角形的面積公式列式計算即可得解；
（3）按照從左到右的順序，依次令三角形為等腰直角三角形，然后根據(jù)等腰直角三角形的斜邊上的中線等于斜邊的一半列式求解得到t的值，再根據(jù)t的取值范圍進(jìn)行判斷．

解答：解：（1）∵拋物線y=ax²+c經(jīng)過點B₁（1，

1

3

），B₂（2，

7

12

），
∴

a+c= 1 3 4a+c= 7 12

，
解得

a= 1 12 c= 1 4

，
所以，拋物線解析式為y=

1

12

x²+

1

4

；

（2）∵A₁的橫坐標(biāo)為t，△A₁B₁A₂，△A₂B₂A₃，△A₃B₃A₄是等腰三角形，
∴A₂（2-t，0），A₃（2+t，0），
∴A₁A₂=（2-t）-t=2-2t，A₂A₃=（2+t）-（2-t）=2t，
∴S₁=

1

2

×（2-2t）×

1

3

=

1-t

3

，S₂=

1

2

×2t×

7

12

=

7

12

t，
依此類推，A₄（4-t，0），A₅（4+t，0），A₆（6-t，0），A₇（6+t，0），…，
∴A₃A₄=（4-t）-（2+t）=2-2t，A₄A₅=（4+t）-（4-t）=2t，
A₅A₆=（6-t）-（4+t）=2-2t，A₆A₇=（6+t）-（6-t）=2t，…，
A₁₀₀A₁₀₁=2t，
又∵y₁₀₀=

1

12

×100²+

1

4

=

10003

12

；
∴S₁₀₀=

1

2

×2t•

10003

12

=

10003

12

t；

（3）存在．
理由如下：若△A₁B₁A₂為等腰直角三角形，則A₁A₂=2-2t=2×

1

3

，
解得t=

2

3

，
若△A₂B₂A₃為等腰直角三角形，則A₂A₃=2t=2×

7

12

，
解得t=

7

12

，
若△A₃B₃A₄為等腰直角三角形，則A₃A₄=2-2t=2（

32

12

+

1

4

），
解得t=0，依次向右，t逐漸變小，
∵0＜t＜1，
∴t的值為

2

3

，

7

12

時，所有等腰三角形中存在直角三角形．

點評：本題是二次函數(shù)的綜合題型，主要涉及待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，等腰三角形三線合一的性質(zhì)，以及規(guī)律探尋，（2）中求出等腰三角形底邊的變化規(guī)律是解題的關(guān)鍵．