8.問題探究
(1)如圖1,點(diǎn)E為矩形ABCD內(nèi)一點(diǎn),請過點(diǎn)E作一條直線,將矩形ABCD的面積分為相等的兩部分;
(2)如圖2,在矩形ABCD中,AB=8,BC=6,P為對角線AC上一點(diǎn),且AC=3AP,請問在邊CD上是否存在一點(diǎn)E,使得直線PE將矩形ABCD的面積分為2:3兩部分,如果存在求出DE的長;如果不存在,請說明理由;
解決問題
(3)如圖3,現(xiàn)有一塊矩形空地ABCD,AB=80米,BC=60米,P為對角線AC上一點(diǎn),且PC=3AP,計(jì)劃在這塊空地上修建一個四邊形花園AECF,使得E、F分別在線段AD、AB上,且EF經(jīng)過點(diǎn)P,若每平方米的造價為100元,請求出修建該花園所需費(fèi)用的范圍(其他費(fèi)用不計(jì)).

分析 (1)連接AC、BD交于點(diǎn)O,作直線EO,直線EO將矩形ABCD的面積分為相等的兩部分.
(2)如圖2中,作MN∥BC,使得四邊形BCMN的面積=$\frac{1}{5}$四邊形ABCD的面積,連接AM、DN交于點(diǎn)O,作直線OP交CD于E,交AB于H,此時四邊形ADEH的面積:四邊形BCEH的面積=2:3.易知CM=BN=$\frac{8}{5}$,DM=AN=$\frac{32}{5}$,由△EOM≌△HAO,得到AH=EM,設(shè)AH=EM=x,由AH∥EC,推出$\frac{AH}{EC}$=$\frac{AP}{PC}$=$\frac{1}{2}$,即$\frac{x}{x+\frac{8}{5}}$=$\frac{1}{2}$,解得x=$\frac{8}{5}$,根據(jù)DE=DM-EM即可解決問題.
(3)如圖3中,連接BD交AC于O,作OM⊥AD于M,ON⊥AN于N.想辦法求出四邊形AECF的面積的最大值和最小值即可解決問題.

解答 解:(1)如圖1中,

連接AC、BD交于點(diǎn)O,作直線EO,直線EO將矩形ABCD的面積分為相等的兩部分.
理由:∵四邊形ABCD是矩形,
∴AB∥CD,OA=OC,
∴∠MCO=∠NAO,
在△MCO和△NAO中,
$\left\{\begin{array}{l}{∠MCO=∠NAO}\\{∠COM=∠AON}\\{OC=OA}\end{array}\right.$,
△MCO≌△NAO,
∴S△MCO=S△NAO,
∵S△ADC=S△ABC,
∴S四邊形ANMD=S四邊形BCMN

(2)如圖2中,作MN∥BC,使得四邊形BCMN的面積=$\frac{1}{5}$四邊形ABCD的面積,
連接AM、DN交于點(diǎn)O,作直線OP交CD于E,交AB于H,此時四邊形ADEH的面積:四邊形BCEH的面積=2:3.

易知:CM=BN=$\frac{8}{5}$,DM=AN=$\frac{32}{5}$,
由△EOM≌△HAO,得到AH=EM,設(shè)AH=EM=x,
∵AH∥EC,
∴$\frac{AH}{EC}$=$\frac{AP}{PC}$=$\frac{1}{2}$,
∴$\frac{x}{x+\frac{8}{5}}$=$\frac{1}{2}$,
解得x=$\frac{8}{5}$,
∴DE=DM-EM=$\frac{32}{5}$-$\frac{8}{5}$=$\frac{24}{5}$.

(3)如圖3中,連接BD交AC于O,作OM⊥AD于M,ON⊥AN于N.

∵PC=3AP,OA=OC,
∴OP=OA,
∴過點(diǎn)P的任意直線將矩形ANOM的面積平分,
∵PC=3AP,
∴S△EPC=3S△EAP,
S△PCF=3S△APF,
∴S四邊形AECF=4S△AEF
當(dāng)直線EF與對角線MN重合時,△AEF的面積最小(△AEF的面積=$\frac{1}{2}$矩形AMON的面積+△FNG的面積,所以△AEF的面積>△AMN的面積),最小值=$\frac{1}{2}$矩形AMON的面積=600m2,
∴四邊形AECF的面積的最小值為2400m2,
當(dāng)點(diǎn)F與點(diǎn)B重合時,△NGF的面積最大,此時AE=$\frac{1}{3}$BC=20,
∴此時△AEF的面積最大,最大面積=$\frac{1}{2}$×80×20=800m2
四邊形AECF的面積的最大值為3200m2,
∵每平方米的造價為100元
∴修建該花園所需費(fèi)用w的范圍為240000元≤w≤320000元.

點(diǎn)評 本題考查四邊形綜合題、矩形的性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、平行線分線段成比例定理等知識,解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線,用轉(zhuǎn)化的思想思考問題,記住平行四邊形是中心對稱圖形,過對稱中心的任意直線平分平行四邊形的面積,屬于中考壓軸題.

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