Question

如圖，在梯形ABCD中，AB∥DC，過對角線AC的中點O作EF⊥AC，分別交邊AB、CD于點E、F，連接CE、AF．
（1）求證：四邊形AECF是菱形；
（2）若EF=4，tan∠OAE=

2

5

，求四邊形AECF的面積．

Answer 1

分析：（1）運用“對角線互相垂直平分的四邊形是菱形”判定，已知EF⊥AC，AO=OC，只需要證明OE=OF即可，用全等三角形得出；
（2）菱形的面積可以用對角線積的一半來表示，由已知條件，解直角三角形AOE可求AC、EF的長度．

解答：（1）證明：
方法1：
∵AB∥DC，
∴∠1=∠2．
在△CFO和△AEO中，

∠1=∠2 ∠FOC=∠EOA OC=OA

∴△CFO≌△AEO．
∴OF=OE，
又∵OA=OC，
∴四邊形AECF是平行四邊形．
∵EF⊥AC，
∴四邊形AECF是菱形．

方法2：證△AEO≌△CFO同方法1，
∴CF=AE，
∵CF∥AE，
∴四邊形AFCE是平行四邊形．
∵OA=OC，EF⊥AC，
∴EF是AC的垂直平分線，
∴AF=CF，
∴四邊形AECF是菱形．

（2）解：∵四邊形AECF是菱形，EF=4，
∴OE=

1

2

EF=

1

2

×4=2．
在Rt△AEO中，
∵tan∠OAE=

OE

OA

=

2

5

，
∴OA=5，
∴AC=2AO=2×5=10．
∴S_菱形AECF=

1

2

EF•AC=

1

2

×4×10=20．

點評：本題主要考查三角形全等的判定及性質(zhì)、菱形的判定、面積計算及三角函數(shù)等知識，考查推理論證的能力．