如圖,在直角梯形ACBE中,BC∥AE,AC⊥AE,∠CAB=30°,AB=AE,作CA的垂直平分線MN交AB的垂線AD于D.
(1)求證:BD=CE;
(2)連接DE交AB于F,求證:F為DE中點(diǎn).
考點(diǎn):直角梯形,全等三角形的判定與性質(zhì),線段垂直平分線的性質(zhì),等邊三角形的判定與性質(zhì),含30度角的直角三角形,三角形中位線定理
專題:證明題,壓軸題
分析:(1)連接CD,根據(jù)直角求出∠BAE=∠DAC=60°,根據(jù)線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等可得DA=DC,然后判斷出△ADC和△BAE是等邊三角形,根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得DA=CA,然后利用“邊角邊”證明△DAB和△CAE全等,根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等即可得證;
(2)過點(diǎn)E作EG⊥AB于G,根據(jù)“角角邊”證明△AEG和△BAC全等,根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得EG=AC=AD,再利用“角角邊”證明△DAF和△EGF全等,根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得DF=EF,從而得證.
解答:(1)證明:連接CD,∵∠CAB=30°,AC⊥AE,AD⊥AB,
∴∠BAE=∠DAC=90°-30°=60°,
∵M(jìn)N是AC的垂直平分線,
∴AD=DC,
∴△ADC是等邊三角形,
∴DA=CA,
在△DAB和△CAE中,
DA=CA
∠DAB=∠CAE=90°
AB=AE
,
∴△DAB≌△CAE(SAS),
∴BD=CE;

(2)證明:過點(diǎn)E作EG⊥AB于G,
則∠AEG=90°-∠BAE=90°-60°=30°,
∴∠AEG=∠CAB=30°,
在△AEG和△BAC中,
∠AEG=∠CAB
∠ACB=∠AGE=90°
AB=AE
,
∴△AEG≌△BAC(AAS),
∴EG=AC,
∴EG=AC=AD,
在△DAF和△EGF中,
∠DAF=∠EGF=90°
∠AFD=∠GFE(對頂角相等)
EG=AD

∴△DAF≌△EGF(AAS),
∴DF=EF,
∴F為DE中點(diǎn).
點(diǎn)評:本題考查了直角梯形的性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì),等邊三角形的判定與性質(zhì),線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等的性質(zhì),綜合性較強(qiáng),多次證明三角形全等是本題最大的特點(diǎn).
練習(xí)冊系列答案
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2x+1
3
-
5x-1
6
=1

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如圖是由16個(gè)邊長為1的小正方形拼成的,在圖中畫△ABC,使AB=
10
AC=
13
,BC=3.

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在方程ax2+bx+c=0中(a≠0),若a+b+c=0,則原方程的兩個(gè)根為
 
;若a-b+c=0,則原方程的兩個(gè)根為
 
;
試用上述結(jié)論解下列方程
(1)2x2-3x-5=0;                     
(2)2x2-3x+1=0.

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一個(gè)數(shù)的平方等于64,則這個(gè)數(shù)的立方根是( 。
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點(diǎn)P關(guān)于x軸對稱的點(diǎn)是(3,-4),則點(diǎn)P關(guān)于y軸對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是
 

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下列圖形中,繞某個(gè)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)120°能與自身重合的有( 。
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已知:點(diǎn)P是三角形ABC內(nèi)任意一點(diǎn),連接PA、PB、PC.
(1)如圖1,當(dāng)△ABC是等邊三角形時(shí),將△PBC繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°到△P′BC′的位置.若AB的長為a,BP的長為b(b<a),求△PBC旋轉(zhuǎn)到△P′BC′的過程中邊PC所掃過區(qū)域(圖1中陰影部分)的面積.(用a、b表示)
(2)如圖2,若△ABC為任意銳角三角形,問:當(dāng)∠APC、∠APB和∠BPC滿足什么大小關(guān)系時(shí),AP+BP+CP的和最小,并說明理由.

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已知拋物線y=ax2+bx+3經(jīng)過A(-3,0),B(-1,0)兩點(diǎn)(如圖1),頂點(diǎn)為M.

(1)a、b的值;
(2)設(shè)拋物線與y軸的交點(diǎn)為Q(如圖1),直線y=-2x+9與直線OM交于點(diǎn)D.現(xiàn)將拋物線平移,保持頂點(diǎn)在直線OD上.當(dāng)拋物線的頂點(diǎn)平移到D點(diǎn)時(shí),Q點(diǎn)移至N點(diǎn),求拋物線上的兩點(diǎn)M、Q間所夾的曲線
MQ
掃過的區(qū)域的面積;
(3)設(shè)直線y=-2x+9與y軸交于點(diǎn)C,與直線OM交于點(diǎn)D(如圖2).現(xiàn)將拋物線平移,保持頂點(diǎn)在直線OD上.若平移的拋物線與射線CD(含端點(diǎn)C)沒有公共點(diǎn)時(shí),試探求其頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍.

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