Question

已知拋物線y=ax²+bx+3經(jīng)過(guò)A（-3，0），B（-1，0）兩點(diǎn)（如圖1），頂點(diǎn)為M．

（1）a、b的值；
（2）設(shè)拋物線與y軸的交點(diǎn)為Q（如圖1），直線y=-2x+9與直線OM交于點(diǎn)D．現(xiàn)將拋物線平移，保持頂點(diǎn)在直線OD上．當(dāng)拋物線的頂點(diǎn)平移到D點(diǎn)時(shí)，Q點(diǎn)移至N點(diǎn)，求拋物線上的兩點(diǎn)M、Q間所夾的曲線

MQ

掃過(guò)的區(qū)域的面積；
（3）設(shè)直線y=-2x+9與y軸交于點(diǎn)C，與直線OM交于點(diǎn)D（如圖2）．現(xiàn)將拋物線平移，保持頂點(diǎn)在直線OD上．若平移的拋物線與射線CD（含端點(diǎn)C）沒(méi)有公共點(diǎn)時(shí)，試探求其頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專題：計(jì)算題,代數(shù)幾何綜合題,壓軸題,數(shù)形結(jié)合,分類討論

分析：（1）將A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入拋物線的解析式中，即可求出待定系數(shù)的值．
（2）連接MQ、DN后，由圖可以發(fā)現(xiàn)

MQ

掃過(guò)的面積正好是?MQND的面積；連接QD，則?MQND的面積是兩倍的△MQD的面積，所以這道題實(shí)際求的是△MQD的面積；由（1）的拋物線解析式，不難求出頂點(diǎn)M的坐標(biāo)，聯(lián)立直線OM和直線CD的解析式可以求出點(diǎn)D的坐標(biāo)；以O(shè)Q為底，M、D兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)差的絕對(duì)值為高即可得△MQD的面積，則此題可求．
（3）在平移過(guò)程中，拋物線的開(kāi)口方向和大小是不變的，即二次項(xiàng)系數(shù)不變；拋物線的頂點(diǎn)始終在直線OM上，根據(jù)直線OM的解析式（y=

1

2

x）可表達(dá)出拋物線頂點(diǎn)的坐標(biāo)（h，

1

2

h），可據(jù)此先設(shè)出平移后的拋物線解析式；若求平移的拋物線與射線CD（含端點(diǎn)C）沒(méi)有公共點(diǎn)時(shí)頂點(diǎn)橫坐標(biāo)的取值范圍，那么就要考慮到兩個(gè)關(guān)鍵位置：
①拋物線對(duì)稱軸右側(cè)部分經(jīng)過(guò)C點(diǎn)時(shí)，拋物線頂點(diǎn)橫坐標(biāo)h的值（設(shè)此時(shí)h=α）；
②拋物線對(duì)稱軸左側(cè)部分與直線CD恰好有且只有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，h的值（設(shè)此時(shí)h=β）；
那么，符合條件的拋物線頂點(diǎn)橫坐標(biāo)的取值范圍可表達(dá)為：h＜α或h＞β．

解答：解：（1）將A（-3，0），B（-1，0）代入拋物線y=ax²+bx+3中，得：

9a-3b+3=0 a-b+3=0

，
解得：a=1、b=4．

（2）連接MQ、QD、DN，由圖形平移的性質(zhì)知：QN

∥

.

MD，即四邊形MQND是平行四邊形；
由（1）知，拋物線的解析式：y=x²+4x+3=（x+2）²-1，則點(diǎn)M（-2，-1）、Q（0，3）；
則，直線OM：y=

1

2

x，聯(lián)立直線y=-2x+9，得：

y= 1 2 x y=-2x+9

，
解得

x= 18 5 y= 9 5

．
則D（

18

5

，

9

5

）；
曲線

MQ

掃過(guò)的區(qū)域的面積：S=S_?MQND=2S_△MQD=2×

1

2

×OQ×|x_M-x_D|=3×|-2-

18

5

|=

84

5

．

（3）由于拋物線的頂點(diǎn)始終在y=

1

2

x上，可設(shè)其坐標(biāo)為（h，

1

2

h），設(shè)平移后的拋物線解析式為y=（x-h）²+

1

2

h；
①當(dāng)平移后拋物線對(duì)稱軸右側(cè)部分經(jīng)過(guò)點(diǎn)C（0，9）時(shí)，有：
h²+

1

2

h=9，解得：h=

-1- 145

4

（依題意，舍去正值）
②當(dāng)平移后的拋物線與直線y=-2x+9只有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，依題意：

y=-2x+9 y=(x-h)2+ 1 2 h

，
消去y，得：x²-（2h-2）x+h²+

1

2

h-9=0，
則：△=（2h-2）²-4（h²+

1

2

h-9）=-10h+40=0，解得：h=4
結(jié)合圖形，當(dāng)平移的拋物線與射線CD（含端點(diǎn)C）沒(méi)有公共點(diǎn)時(shí)，h＜

-1- 145

4

或h＞4．

點(diǎn)評(píng)：該題主要考查了二次函數(shù)解析式的確定、圖形的平移及其性質(zhì)、函數(shù)圖象交點(diǎn)坐標(biāo)的求法等重點(diǎn)知識(shí)；（2）題中，要通過(guò)觀察圖形找出曲線掃過(guò)的面積和平行四邊形的面積之間的聯(lián)系；最后一題中，要注意“射線CD”這個(gè)條件．