如圖，拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（1，0），B（5，0），C（0，）三點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)E（x，y）是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，且在x軸下方，四邊形OEBF是以O(shè)B為對(duì)角線的平行四邊形．

（1）求拋物線的解析式；
（2）當(dāng)點(diǎn)E（x，y）運(yùn)動(dòng)時(shí)，試求平行四邊形OEBF的面積S與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并求出面積S的最大值？
（3）是否存在這樣的點(diǎn)E，使平行四邊形OEBF為正方形？若存在，求E點(diǎn)，F(xiàn)點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
（1）拋物線的解析式為：y=x2﹣4x+；
（2）S與x之間的函數(shù)關(guān)系式為：S=﹣x2+20x﹣（1＜x＜5），S的最大值為；
（3）存在點(diǎn)E（，﹣），使平行四邊形OEBF為正方形，此時(shí)點(diǎn)F坐標(biāo)為（，）．

試題分析：（1）由拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（1，0），B（5，0），C（0，）三點(diǎn)，利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式；
（2）由點(diǎn)E（x，y）是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，且位于第四象限，可得y＜0，即﹣y＞0，﹣y表示點(diǎn)E到OA的距離，又由S=2S△OBE=2××OB•|y|，即可求得平行四邊形OEAF的面積S與x之間的函數(shù)關(guān)系式，結(jié)合圖象，求得自變量x的取值范圍；
（3）由當(dāng)OB⊥EF，且OB=EF時(shí)，平行四邊形OEBF是正方形，可得此時(shí)點(diǎn)E坐標(biāo)只能（，﹣），而坐標(biāo)為（，﹣）點(diǎn)在拋物線上，故可判定存在點(diǎn)E，使平行四邊形OEBF為正方形．
試題解析：（1）設(shè)所求拋物線的解析式為y=ax2+bx+c，
∵拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（1，0），B（5，0），C（0，）三點(diǎn)，則由題意可得：
，解得．
∴所求拋物線的解析式為：y=x2﹣4x+；
（2）∵點(diǎn)E（x，y）是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，且在x軸下方，
∴y＜0，
即﹣y＞0，﹣y表示點(diǎn)E到OA的距離．
∵OB是平行四邊形OEBF的對(duì)角線，
∴S=2S△OBE=2××OB•|y|=﹣5y=﹣5（x2﹣4x+）=﹣x2+20x﹣，
∵S=﹣（x﹣3）2+
∴S與x之間的函數(shù)關(guān)系式為：S=﹣x2+20x﹣（1＜x＜5），S的最大值為；
（3）∵當(dāng)OB⊥EF，且OB=EF時(shí)，平行四邊形OEBF是正方形，
∴此時(shí)點(diǎn)E坐標(biāo)只能（，﹣），而坐標(biāo)為（，﹣）點(diǎn)在拋物線上，
∴存在點(diǎn)E（，﹣），使平行四邊形OEBF為正方形，
此時(shí)點(diǎn)F坐標(biāo)為（，）．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

如圖，拋物線y=－x2+x－2交x軸于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），交y軸于點(diǎn)C，分別過(guò)點(diǎn)B，C作y軸，x軸的平行線，兩平行線交于點(diǎn)D，將△BDC繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)到y(tǒng)軸上得到△FEC，連接BF．
（1）求點(diǎn)B，C所在直線的函數(shù)解析式；
（2）求△BCF的面積；
（3）在線段BC上是否存在點(diǎn)P，使得以點(diǎn)P，A，B為頂點(diǎn)的三角形與△BOC相似？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

如圖，二次函數(shù)y=x2+bx+c的圖象交x軸于A、D兩點(diǎn)，并經(jīng)過(guò)B點(diǎn)，已知A點(diǎn)坐標(biāo)是（2，0），B點(diǎn)的坐標(biāo)是（8，6）．
（1）求二次函數(shù)的解析式．
（2）求函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)及D點(diǎn)的坐標(biāo)．
（3）該二次函數(shù)的對(duì)稱軸交x軸于C點(diǎn)．連接BC，并延長(zhǎng)BC交拋物線于E點(diǎn)，連接BD，DE，求△BDE的面積．
（4）拋物線上有一個(gè)動(dòng)點(diǎn)P，與A，D兩點(diǎn)構(gòu)成△ADP，是否存在S△ADP=S△BCD？若存在，請(qǐng)求出P點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在．請(qǐng)說(shuō)明理由．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)P（0，4），點(diǎn)A在線段OP上，點(diǎn)B在x軸正半軸上，且AP=OB=t， 0＜t＜4，以AB為邊在第一象限內(nèi)作正方形ABCD；過(guò)點(diǎn)C、D依次向x軸、y軸作垂線，垂足為M，N，設(shè)過(guò)O，C兩點(diǎn)的拋物線為y=ax2+bx+c．
（1）填空：△AOB≌△       ≌△BMC（不需證明）；用含t的代數(shù)式表示A點(diǎn)縱坐標(biāo)：A（0，       ；
（2）求點(diǎn)C的坐標(biāo)，并用含a，t的代數(shù)式表示b；
（3）當(dāng)t=1時(shí)，連接OD，若此時(shí)拋物線與線段OD只有唯一的公共點(diǎn)O，求a的取值范圍；
（4）當(dāng)拋物線開(kāi)口向上，對(duì)稱軸是直線，頂點(diǎn)隨著t的增大向上移動(dòng)時(shí)，求t的取值范圍．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：單選題

拋物線y=（x+1）2+2的頂點(diǎn)在（　�。�
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限

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科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

閱讀下列材料，并解答問(wèn)題：
函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）叫做二次函數(shù)，它的圖象是拋物線，二次函數(shù)可以化成y=a（x-h）2+k的形式，則點(diǎn)（h，k）為拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)．
例：y=2x2+4x-1=2（x+1）2-3，則頂點(diǎn)坐標(biāo)為（-1，-3）．
運(yùn)用上述方法，求拋物線y=-2x2-3x+4的頂點(diǎn)坐標(biāo)．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：填空題

已知函數(shù)y=
(x-1)2-1(x≤3)
(x-5)2-1(x＞3)
，若使y=k成立的x值恰好有三個(gè)，則k的值為_(kāi)_____．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

若函數(shù)y=（m-4）x3m2-2m-3是二次函數(shù)，求m的值．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：單選題

二次函數(shù)的圖象如圖所示．當(dāng)y＜0時(shí)，自變量x的取值范圍是（    ）．
A．－1＜x＜3
B．x＜－1
C．x＞3
D．x＜－1或x＞3

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