Question

如圖，⊙O經(jīng)過點(diǎn)B、D、E，BD是⊙O的直徑，∠C=90°，BE平分∠ABC．
（1）△BDE的形狀是

 

；理由是

 

；
（2）試說明直線AC是⊙O的切線；
（3）當(dāng)AE=4，AD=2時(shí)，求⊙0半徑及BC的長．

Answer 1

考點(diǎn)：圓的綜合題

專題：

分析：（1）根據(jù)圓周角定理求出∠DEB=90°，根據(jù)直角三角形的判定推出即可；
（2）連接OE，根據(jù)∠OEB=∠OBE和∠CBE=∠ABE推出∠OEB=∠CBE，得出OE∥BC，得出∠OEA=90°，根據(jù)切線的判定判斷即可；
（3）根據(jù)切割線定理求出AB，求出BC、OD、OE、OB，根據(jù)解直角三角形得出sinA=

OE

AO

=

BC

AB

，代入求出即可．

解答：（1）解：∵BD是⊙O的直徑，
∴∠DEB=90°（直徑所對(duì)的圓周角是直角），
∴△BDE的形狀是直角三角形，
故答案為：直角三角形，直徑所對(duì)的圓周角是直角．

（2）證明：連接OE，
∵OE=OB，
∴∠OEB=∠OBE，
∵BE平分∠ABC，
∴∠CBE=∠ABE，
∴∠CBE=∠OEB，
∴OE∥BC，
∵∠C=90°，
∴∠OEA=∠C=90°，
∴OE⊥AC，
∵OE是半徑，
∴AC是⊙O的切線．

（3）解：∵AC是⊙O的切線，ADB是⊙O的割線，
∴由切割線定理得：AE²=AD×AB，
∴4²=2AB，
∴AB=8，
∴BD=8-2=6，
∴OE=OB=OD=3，AO=3+2=5，
∵∠AEO=∠C=90°，
∴sinA=

OE

AO

=

BC

AB

，
∴

3

5

=

BC

8

，
∴BC=

24

5

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了切線的判定、解直角三角形、圓周角定理、切割線定理等知識(shí)點(diǎn)，解（2）的關(guān)鍵是求出∠OEA=90°，解（3）的關(guān)鍵是求出各個(gè)線段的長，題目比較好，綜合性比較強(qiáng)．