在梯形ABCD中，AD∥BC，BA⊥AC，∠B=45°，AD=2，BC=6，以BC所在直線為x軸，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，點(diǎn)A在y軸上．
（1）求過(guò)A、D、C三點(diǎn)的拋物線的解析式．
（2）求△ADC的外接圓的圓心M的坐標(biāo)，并求⊙M的半徑．
（3）E為拋物線對(duì)稱軸上一點(diǎn)，F(xiàn)為y軸上一點(diǎn)，求當(dāng)ED+EC+FD+FC最小時(shí)，EF的長(zhǎng)．
（4）設(shè)Q為射線CB上任意一點(diǎn)，點(diǎn)P為對(duì)稱軸左側(cè)拋物線上任意一點(diǎn)，問(wèn)是否存在這樣的點(diǎn)P、Q，使得以P、Q、C為頂點(diǎn)的△與△ADC相似？若存在，直接寫(xiě)出點(diǎn)P、Q的坐標(biāo)；若不存在，則說(shuō)明理由．
（1）由題意知C（3，0）、A（0，3）．
如圖1，過(guò)D作x軸垂線，由矩形性質(zhì)得D（2，3）．
由拋物線的對(duì)稱性可知拋物線與x軸另一交點(diǎn)為（-1，0）．
設(shè)拋物線的解析式為y=a（x+1）（x-3）．
將（0，3）代入得a=-1，所以y=-x2+2x+3．

（2）由外接圓知識(shí)知M為對(duì)稱軸與AC中垂線的交點(diǎn)．
由等腰直角三角形性質(zhì)得OM平分∠AOC，即yOM=x，
∴M（1，1）．
連MC得MC=
5
，即半徑為
5
．

（3）如圖2，由對(duì)稱性可知：當(dāng)ED+EC+FD+FC最小時(shí)，E為對(duì)稱軸與AC交點(diǎn)，F(xiàn)為BD與y軸交點(diǎn)，
∵∠B=45°，∠AOB=90°，
∴AO=BO=3，故B點(diǎn)坐標(biāo)為：（-3，0），
再利用D（2，3），代入y=ax+b，得：
2a+b=3
-3a+b=0
，
解得：
a=
3
5
b=
9
5
，
故BD直線解析式為：y=
3
5
x+
9
5
，
當(dāng)x=0，y=
9
5
，根據(jù)對(duì)稱軸為直線x=1，則y=2，
故F（0，
9
5
）、E（1，2），
EF=
ET2+FT2
=
12+(
1
5
)2
=
26
5
．

（4）可得△ADC中，AD=2，AC=3
2
，DC=
10
．
假設(shè)存在，顯然∠QCP＜90°，則∠QCP=45°或∠QCP=∠CAD．
如圖3，當(dāng)∠QCP=45°時(shí)，OR=OC=3，
則R點(diǎn)坐標(biāo)為（0，-3），將C，R代入y=ax+b得出：
b=-3
3a+b=0
，
解得：
a=1
b=-3
，
這時(shí)直線CP的解析式為y=x-3，同理可得另一解析式為：y=-x+3．
當(dāng)直線CP的解析式為y=x-3時(shí)，
則x-3=-x2+2x+3，
解得：x1=-2，x2=3，
可求得P（-2，-5），
故PC=
52+52
=5
2
．
設(shè)CQ=x，則
2
3
2
=
x
5
2
或
2
3
2
=
5
2
x
，
解得：x=
10
3
或x=15．
∴Q（-
1
3
，0）或（-12，0）．
當(dāng)y=-x+3即P與A重合時(shí)，CQ=y，則
AD
AC
=
QC
AC
，
即
2
3
2
=
y
3
2
，或
2
3
2
=
3
2
y
，
解得CQ=2或9，
故Q（1，0）或（-6，0）．
如圖4，當(dāng)∠QCP=∠ACD時(shí)，設(shè)CP交y軸于H，連接ED，則ED⊥AC，
∴DE=
2
，EC=2
2
，
易證：△CDE∽△CHQ，
所以
HO
2
=
3
2
2
，
∴HO=
3
2
．
可求HC的解析式為y=
1
2
x-
3
2
．
聯(lián)解
y=
1
2
x-
3
2
y=-x2+2x+3
，
得P（-
3
2
，-
9
4
），PC=
9
4
5
．
設(shè)CQ=x，知
10
x
=
3
2
9
4
5
或
10
9
4
5
=
3
2
x
，
∴x=
15
4
或x=
27
4
，
∴Q（-
3
4
，0）或（-
15
4
，0）．
同理當(dāng)H在y軸正半軸上時(shí)，HC的解析式為y=-
1
2
x+
3
2
．
∴P’（-
1
2
，
7
4
），
∴PC=
7
4
5
．
∴
10
CQ
=
3
2
7
4
5
或
10
7
4
5
=
3
    • 
							
			
      
			
      
			
			
      
		
	

		

		





			
		
		
				
      
				練習(xí)冊(cè)系列答案
		
      
		
				
			

					
      
				相關(guān)習(xí)題
			
      
						
		
      
			
      
				科目：初中數(shù)學(xué)
				來(lái)源：不詳
				題型：單選題
			
      

						
      某幢建筑物，從10米高的窗口A用水管和向外噴水，噴的水流呈拋物線（拋物線所在平面與墻面垂直），（如圖）如果拋物線的最高點(diǎn)M離墻1米，離地面
      40
      3
      米，則水流下落點(diǎn)B離墻距離OB是（　�。�
      A．2米B．3米C．4米D．5米
      

			
      

			
      
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				科目：初中數(shù)學(xué)
				來(lái)源：不詳
				題型：解答題
			
      

						
      如圖，已知拋物線與x交于A（-1，0）、E（3，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)B（0，3）．
      （1）求拋物線的解析式；
      （2）設(shè)拋物線頂點(diǎn)為D，求四邊形AEDB的面積．
      

			
      

			
      
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				科目：初中數(shù)學(xué)
				來(lái)源：不詳
				題型：解答題
			
      

						
      某商場(chǎng)試銷一種成本為每件60元的服裝，規(guī)定試銷期間銷售單價(jià)不低于成本單價(jià)，且獲利不得高于40%．經(jīng)試銷發(fā)現(xiàn)，銷售量y（件）與銷售單價(jià)x（元）符合一次函數(shù)y=kx+b，且x=80時(shí)，y=40；x=70時(shí)，y=50．
      （1）求一次函數(shù)y=kx+b的表達(dá)式；
      （2）若該商場(chǎng)獲得利潤(rùn)為W元，試寫(xiě)出利潤(rùn)W與銷售單價(jià)x之間的關(guān)系式；銷售單價(jià)定為多少元時(shí)，商場(chǎng)可獲得最大利潤(rùn)，最大利潤(rùn)是多少元？
      

			
      

			
      
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				科目：初中數(shù)學(xué)
				來(lái)源：不詳
				題型：解答題
			
      

						
      已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)A（2，0）、C（0，12）兩點(diǎn)，且對(duì)稱軸為直線x=4．設(shè)頂點(diǎn)為點(diǎn)P，與x軸的另一交點(diǎn)為點(diǎn)B．
      （1）求二次函數(shù)的解析式及頂點(diǎn)P的坐標(biāo)；
      （2）如圖1，在直線y=2x上是否存在點(diǎn)D，使四邊形OPBD為等腰梯形？若存在，求出點(diǎn)D的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；
      （3）如圖2，點(diǎn)M是線段OP上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（O、P兩點(diǎn)除外），以每秒
      		2
      個(gè)單位長(zhǎng)度的速度由點(diǎn)P向點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)，過(guò)點(diǎn)M作直線MN∥x軸，交PB于點(diǎn)N．將△PMN沿直線MN對(duì)折，得到△P1MN．在動(dòng)點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，設(shè)△P1MN與梯形OMNB的重疊部分的面積為S，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．求S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式．
      

			
      

			
      
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				科目：初中數(shù)學(xué)
				來(lái)源：不詳
				題型：解答題
			
      

						
      某公司推出一款新型手機(jī)，投放市場(chǎng)以來(lái)前3個(gè)月的利潤(rùn)情況如圖所示，該圖可以近似看作拋物線的一部分．請(qǐng)結(jié)合圖象，解答以下問(wèn)題：
      （1）求該拋物線對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)解析式；
      （2）該公司在經(jīng)營(yíng)此款手機(jī)過(guò)程中，第幾月的利潤(rùn)能達(dá)到24萬(wàn)元？
      （3）若照此經(jīng)營(yíng)下去，請(qǐng)你結(jié)合所學(xué)的知識(shí)，對(duì)公司在此款手機(jī)的經(jīng)營(yíng)狀況（是否虧損？何時(shí)虧損？）作預(yù)測(cè)分析．
      

			
      

			
      
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				科目：初中數(shù)學(xué)
				來(lái)源：不詳
				題型：解答題
			
      

						
      計(jì)算機(jī)把數(shù)據(jù)存儲(chǔ)在磁盤(pán)上，磁盤(pán)是帶有磁性物質(zhì)的圓盤(pán)，磁盤(pán)上有一些同心圓軌道叫做磁道．如圖，現(xiàn)有一張半徑為45mm，有
      10
      3
      （45-r）條磁道的磁盤(pán)，這張磁盤(pán)最內(nèi)磁道的半徑為rmm．
      （1）磁盤(pán)最內(nèi)磁道上每0.015mm的弧長(zhǎng)為1個(gè)存儲(chǔ)單元，用r的代數(shù)式表示這條磁道有多少個(gè)存儲(chǔ)單元？
      （2）如果各磁道的存儲(chǔ)單元數(shù)目與最內(nèi)磁道相同，且磁盤(pán)的存儲(chǔ)量是225000π個(gè)存儲(chǔ)單元，求最內(nèi)磁道的半徑r是多少？
      

			
      

			
      
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				科目：初中數(shù)學(xué)
				來(lái)源：不詳
				題型：解答題
			
      

						
      某商場(chǎng)將每件進(jìn)價(jià)為80元的某種商品原來(lái)按每件100元出售，一天可售出100件，經(jīng)調(diào)查這種商品每降低1元，其銷量可增加10件．
      ①求商場(chǎng)原來(lái)一天可獲利潤(rùn)多少元？
      ②設(shè)后來(lái)該商品每件降價(jià)x元，一天可獲利潤(rùn)y元．
      1）若經(jīng)營(yíng)該商品一天要獲利2160元，則每件商品應(yīng)降價(jià)多少元？
      2）當(dāng)售價(jià)為多少時(shí)，獲利最大并求最大值？
      

			
      

			
      
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				科目：初中數(shù)學(xué)
				來(lái)源：不詳
				題型：填空題
			
      

						
      已知拋物線的頂點(diǎn)為A（2，1），且經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O，與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為B，若點(diǎn)C在拋物線的對(duì)稱軸上，點(diǎn)D在拋物線上，且以O(shè)，C，D，B四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，則D點(diǎn)的坐標(biāo)為_(kāi)_____．
      

			
      

			
      
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      同步練習(xí)冊(cè)答案