Question

如圖，已知二次函數(shù)y=ax²+bx+c的圖象經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O和x軸上的另一點(diǎn)A，它的對(duì)稱(chēng)軸直線x=2與x軸交于點(diǎn)C，直線y=2x+1經(jīng)過(guò)拋物線上一點(diǎn)B（-2，m），且與y軸、直線x=2分別交于D、E．
（1）求這個(gè)二次函數(shù)的解析式；
（2）求證：D是BE的中點(diǎn)；
（3）若點(diǎn)P（x、y）是拋物線對(duì)稱(chēng)軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，是否存在這樣的點(diǎn)P，使得△PBE是以PE為腰的等腰三角形？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專(zhuān)題：

分析：（1）把點(diǎn)B的坐標(biāo)代入直線y=2x+1求出m的值，從而得到點(diǎn)B的坐標(biāo)，再根據(jù)拋物線的對(duì)稱(chēng)性求出點(diǎn)A的坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式即可；
（2）令x=0，x=2求出點(diǎn)D、E的坐標(biāo)，再根據(jù)兩點(diǎn)之間的距離公式列式求出BD、DE的長(zhǎng)度即可得證；
（3）因?yàn)檠�不明確，所以分①PE=BE，根據(jù)BE的長(zhǎng)度，分點(diǎn)P在點(diǎn)E的上方與下方兩種情況寫(xiě)出，②PE=PB，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，n）根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式列式求出n的值為0，從而最后得解．

解答：（1）解：∵點(diǎn)B（-2，m）在直線y=2x+1上，
∴2×（-2）+1=m，
解得m=-3，
∴B（-2，-3），
∵二次函數(shù)y=ax²+bx+c的圖象經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O和x軸上的另一點(diǎn)A，它的對(duì)稱(chēng)軸直線x=2，
∴A（4，0），
∵二次函數(shù)y=ax²+bx+c的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)O、A、B，
∴

c=0 16a+4b+c=0 4a-2b+c=-3

，
解得

a=- 1 4 b=1 c=0

，
∴二次函數(shù)解析式為：y=-

1

4

x²+x；

（2）證明：∵直線y=2x+1與y軸、直線x=2分別交于D、E，
∴x=0時(shí)，y=1，
x=2時(shí)，y=2×2+1=5，
∴點(diǎn)D、E的坐標(biāo)分別為：D（0，1）、E（2，5），
∴BD=

(-2)2+(-3-1)2

=2

5

，DE=

22+(5-1)2

=2

5

，
∴BD=DE，
即D是BE的中點(diǎn)；

（3）解：拋物線的對(duì)稱(chēng)軸上存在這樣的點(diǎn)P，使得△PBE是以PE為腰的等腰三角形．
①當(dāng)PE=BE時(shí)，根據(jù)（2）的結(jié)論，PE=BD+DE=2

5

+2

5

=4

5

，
所以點(diǎn)P（2，5+4

5

）或 P（2，5-4

5

），
②當(dāng)PE=PB時(shí)，設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為（2，n），
則PB=

(-2-2)2+(-3-n)2

=

16+(3+n)2

，
PE=|n-5|，
所以

16+(3+n)2

=|n-5|，
兩邊平方得，16+9+6n+n²=n²-10n+25，
解得n=0，
所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為P（2，0）．

點(diǎn)評(píng)：本題是對(duì)二次函數(shù)的綜合考查，有待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，兩點(diǎn)間的距離公式，以及等腰三角形的兩腰相等，熟練運(yùn)用兩點(diǎn)間的距離公式是解題的關(guān)鍵．