Question

【題目】直線與軸、軸分別交于點(diǎn)、，拋物線經(jīng)過點(diǎn)、點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)．

（1）求拋物線的解析式；

（2）如圖1，點(diǎn)在軸上，連接，若，求點(diǎn)的坐標(biāo)；

（3）如圖2，將拋物線平移，使其頂點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)，得到拋物線，平移直線經(jīng)過原點(diǎn)，交拋物線于點(diǎn)．點(diǎn)，點(diǎn)是第一象限內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，交于點(diǎn)，軸分別交、于、，試探究與之間的數(shù)量關(guān)系．

Answer 1

【答案】（1）；（2）、；（3）

【解析】

（1）先求出點(diǎn)B的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法即可求出拋物線的解析式；

（2）先在軸負(fù)半軸上取一點(diǎn)，使，證明即可求出OP得到點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（3）求出直線的解析式為y=nx，直線的解析式，聯(lián)立求得點(diǎn)，利用軸分別交、于、，求出，，得到，，即可證得結(jié)論QS=SR.

解：（1）在y=-x+1中，令，得，

∴，

∵經(jīng)過點(diǎn)、點(diǎn)，

∴，

解得：，

∴拋物線的解析式為：．

（2）在y=-x+1中，令，得，

∴，

在中，令，

∴，

∵，

∴，

∵，

∴，

∴，

在軸負(fù)半軸上取一點(diǎn)，使，

∴，

∵，

∴，，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴

∴，

∴，

∴，

根據(jù)對(duì)稱性知也符合要求.

綜上所述，符合條件的點(diǎn)的坐標(biāo)為、.

（3）依題意知：拋物線的解析式為，直線的解析式為，

∴，

設(shè)，∵，

∴直線的解析式為y=nx，

直線的解析式，

聯(lián)立，

消去整理得，

∴，

∵，

∴，

∴，

∵軸分別交、于、，

∴，，

∴，

，

∴.