Question

在平面直角坐標(biāo)系中，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，直角梯形AOCD的頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為
（0，），點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1，），點(diǎn)C在軸的正半軸上，過點(diǎn)O且以點(diǎn)D為頂點(diǎn)的拋物線經(jīng)過點(diǎn)C，點(diǎn)P為CD的中點(diǎn)．

（1）求拋物線的解析式及點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（2） 在軸右側(cè)的拋物線上是否存在點(diǎn)Q，使以Q為圓心的圓同時(shí)與軸、直線OP相切．若存在，請(qǐng)求出滿足條件的點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由；
（3）點(diǎn)M為線段OP上一動(dòng)點(diǎn)（不與O點(diǎn)重合），過點(diǎn)O、M、D的圓與軸的正半軸交于點(diǎn)N．求證：OM+ON為定值．
（4）在軸上找一點(diǎn)H，使∠PHD最大．試求出點(diǎn)H的坐標(biāo)．

Answer 1

（1） （2） （3）H                               

試題分析：解：(1) 設(shè)拋物線的解析式為，
將（0，0）代入，得 ，
∴拋物線的解析式為即       2分
                                                      4分

（2）若⊙Q在直線OP上方，則Q與D點(diǎn)重合，此時(shí)Q₁；           
若⊙Q在直線OP下方，與軸、直線OP切于E、F，
則QE=QF，QE⊥軸，QF⊥OP
∴OQ平分∠EOF
∵∠EOF="120°"   ∴∠FOQ=60°
∵∠POC=30°，則∠QOC=30°                                  
設(shè)Q，則
解得（舍去），      ∴              8分
（3）∵在過點(diǎn)O、M、D的圓中，有∠MOD=∠NOD ∴      ∴MD= ND
易得OD平分∠AOP，DA⊥軸，DP⊥OP ∴DA= DP
可證得△NAD≌△MPD（HL）  ∴MP= AN  
∴OM+ON= OP-MP+OA+AN=OP+OA=2OA=，
則OM+ON=，即OM+ON為定值．                              11分
（4）作過P、D兩點(diǎn)且與軸相切于點(diǎn)H的圓S，
則由圓周角大于圓外角可知，∠PHD最大．                         12分
設(shè)，則由HS=SD=SP
可得，
H                                14分

點(diǎn)評(píng)：此題比較綜合，把幾何圖形和二次函數(shù)結(jié)合起來考察學(xué)生，要求學(xué)生都知識(shí)的掌握程度比較高，解答過程稍微比較復(fù)雜，是區(qū)分學(xué)生成績的題目。