Question

直線y=

3

x+

3

交x軸于A，交y軸于B，將這條直線繞某點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°且M、N分別為A、B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)（M、N在第一象限），直線MN交y軸于C，且S_△BCM=S_△BMN，雙曲線y=

k

x

過(guò)M、N兩點(diǎn)，則k=

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：反比例函數(shù)綜合題

專題：綜合題

分析：過(guò)M、N點(diǎn)分別作x軸、y軸的垂線垂足分別為E、H、F、Q，ME與NQ交與T點(diǎn)，兩垂線的交點(diǎn)為P，直線AB繞某點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°交x軸于K點(diǎn)，先求出A（-1，0），B（0，

3

），利用勾股定理得到AB=2，則∠OAB=60°，∠OBA=30°，而∠KPA=90°，可得到∠MNT=30°，再利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到MN=AB=2，則MT=1，NT=

3

，設(shè)M點(diǎn)坐標(biāo)為（a，b），則N點(diǎn)坐標(biāo)為（a+

3

，b-1），根據(jù)反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)得到k=ab=（a+

3

）（b-1），即a-

3

b+

3

=0①，又S_△BCM=S_△BMN，則CM=MN，
得到MH為△CQN的中位線，所以MH=

1

2

NQ，即a=

1

2

（a+

3

），解得a=

3

，易求得b=2，于是k=ab=2

3

．

解答：解：過(guò)M、N點(diǎn)分別作x軸、y軸的垂線，垂足分別為E、H、F、Q，ME與NQ交與T點(diǎn)，兩垂線的交點(diǎn)為P，直線AB繞某點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°交x軸于K點(diǎn)，如圖所示
對(duì)于y=

3

x+

3

，令x=0，則y=

3

；令y=0，則

3

x+

3

=0，解得x=1，即A（-1，0），B（0，

3

），AB=

OA2+OB2

=2，
則∠OAB=60°，∠OBA=30°，
∵∠KPA=90°，
∴∠PKA=30°，
∴∠MNT=30°，
∵直線AB繞某點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°且M、N分別為A、B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，
∴MN=AB=2，
∴MT=OA=1，NT=OB=

3

，
設(shè)M點(diǎn)坐標(biāo)為（a，b），則N點(diǎn)坐標(biāo)為（a+

3

，b-1），
∵雙曲線y=

k

x

過(guò)M、N兩點(diǎn)，
∴k=ab=（a+

3

）（b-1），即a-

3

b+

3

=0①，
∵S_△BCM=S_△BMN，
∴CM=MN，
∴MH=

1

2

NQ，即a=

1

2

（a+

3

），解得a=

3

，
把a(bǔ)=

3

代入①得

3

-

3

b+

3

=0，
∴b=2，
∴k=ab=2

3

．
故答案為2

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了反比例函數(shù)的綜合題：反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)的積為定值；旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)要熟練運(yùn)用；勾股定理和含30°的直角三角形三邊的關(guān)系在幾何計(jì)算中常用到．