如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,拋物線與x軸交于A、B兩點(A在B的左側(cè)),與y軸交于點C(0,4),頂點為(1,
9
2
).

(1)求拋物線的函數(shù)關(guān)系式;
(2)如圖①,設(shè)該拋物線的對稱軸與x軸交于點D,試在對稱軸上找出點P,使△CDP為等腰三角形,請直接寫出滿足條件的所有點P的坐標(biāo);
(3)如圖②,連結(jié)AC、BC,若點E是線段AB上的一個動點(與點A、B不重合),過點E作EFAC交線段BC于點F,連結(jié)CE,記△CEF的面積為S,求出S的最大值及此時E點的坐標(biāo).
(1)因為拋物線的頂點為(1,
9
2
),
所以設(shè)拋物線的函數(shù)關(guān)系式為y=a ( x-1)2+
9
2
,
∵拋物線與y軸交于點C(0,4),
∴a(0-1)2+
9
2
=4.
解得:a=-
1
2

∴所求拋物線的函數(shù)關(guān)系式為y=-
1
2
(x-1)2+
9
2


(2)如圖①,過點C作CE⊥對稱軸于點E,
當(dāng)CD=CP1時,∵點C(0,4),頂點為(1,
9
2
),
∴CD=
42+12
=
17
,DE=4,
∴CP1=
17
,EP1=4,
∴P1的坐標(biāo)為:(1,8),
當(dāng)CD=DP2時,P2的坐標(biāo)為:(1,
17
),
當(dāng)CP3=DP3時,
設(shè)CP3=DP3=y,
∴CE2+EP
23
=CP
23
,
∴1+(4-y)2=y2,
解得:y=
17
8
,
∴P3的坐標(biāo)為:(1,
17
8
),
當(dāng)CD=DP4時,
P4的坐標(biāo)為:(1,-
17
),
綜上所述:符合條件的所有P點坐標(biāo)是:
(1,
17
),(1,-
17
),(1,8),(1,
17
8
);

(3)令-
1
2
(x-1)2+
9
2
=0,
解得:x1=-2,x2=4,.
∴拋物線y=-
1
2
(x-1)2+
9
2
與x軸的交點為A(-2,0),B(4,0).
過點F作FM⊥OB于點M.
∵EFAC,
∴△BEF△BAC.
MF
CO
=
EB
AB

又∵OC=4,AB=6,
∴MF=
BE
AB
×CO=
2
3
EB.
設(shè)E點坐標(biāo)(x,0),則EB=4-x.MF=
2
3
(4-x),
∴S=S△BCE-S△BEF=
1
2
EB•CO-
1
2
EB•MF,
=
1
2
EB(OC-MF)=
1
2
(4-x)[4-
2
3
(4-x)]
=-
1
3
x2+
2
3
x+
8
3
=-
1
3
(x-1)2+3.
Qa=-
1
3
<0,
∴S有最大值.
當(dāng)x=1時,S最大值=3.
此時點E的坐標(biāo)為(1,0).
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

在平面直角坐標(biāo)系中,直線AB與x軸,y軸相交于A,B兩點,直線AB的函數(shù)表達(dá)式y=-
3
4
x-6
,圓M經(jīng)過原點O,A,B三點.
(1)求出A,B的坐標(biāo);
(2)若有一拋物線的對稱軸平行于y軸且經(jīng)過點M,頂點C在⊙M上且拋物線經(jīng)過點B,求此拋物線的函數(shù)解析式;
(3)如圖,設(shè)(2)中求得的開口向下的拋物線交x軸于D、E兩點,拋物線上是否存在點P,使得S△PDE=
1
10
S△ABC
?若存在,請求出點P的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

如圖1、2,已知拋物線y=ax2+bx+3經(jīng)過點B(-1,0)、C(3,0),交y軸于點A.
(1)求此拋物線的解析式;
(2)如圖1,若M(0,1),過點A的直線與x軸交于點D(4,0).直角梯形EFGH的上底EF與線段CD重合,∠FEH=90°,EFHG,EF=EH=1.直角梯形EFGH從點D開始,沿射線DA方向勻速運動,運動的速度為1個長度單位/秒,在運動過程中腰FG與直線AD始終重合,設(shè)運動時間為t秒.當(dāng)t為何值時,以M、O、H、E為頂點的四邊形是特殊的平行四邊形;
(3)如圖2,拋物線頂點為K,KI⊥x軸于I點,一塊三角板直角頂點P在線段KI上滑動,且一直角邊過A點,另一直角邊與x軸交于Q(m,0),請求出實數(shù)m的變化范圍,并說明理由.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

某網(wǎng)店以每件60元的價格購進一批商品,若以單價80元銷售,每月可售出300件,調(diào)查表明:單價每上漲1元,該商品每月的銷量就減少10件.
(1)請寫出每月銷售該商品的利潤y(元)與單價上漲x(元)件的函數(shù)關(guān)系式;
(2)單價定為多少元時,每月銷售該商品的利潤最大?最大利潤為多少?

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

某建筑物的窗口如圖所示,它的上半部是半圓,下半部是矩形,制造窗框的材料總長(圖中所有黑線的長度和)為15m,當(dāng)半圓的半徑為多少時,窗戶通過的光線最多?此時,窗戶的面積是多少(結(jié)果精確到0.01m)?

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

如圖,排球運動員站在點O處練習(xí)發(fā)球,將球從O點正上方2m的A處發(fā)出,把球看成點,其運行的高度y(m)與運行的水平距離x(m)滿足關(guān)系式y(tǒng)=a(x-6)2+2.6.已知球網(wǎng)與O點的水平距離為9m,高度為2.43m.
(1)求y與x的關(guān)系式;(不要求寫出自變量x的取值范圍)
(2)球能否越過球網(wǎng)?球會不會出界?請說明理由.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

如圖1,四邊形ABCD是邊長為5的正方形,以BC的中點O為原點,BC所在直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系.拋物線y=ax2經(jīng)過A,O,D三點,圖2和圖3是把一些這樣的小正方形及其內(nèi)部的拋物線部分經(jīng)過平移和對稱變換得到的.
(1)求a的值;
(2)求圖2中矩形EFGH的面積;
(3)求圖3中正方形PQRS的面積.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

當(dāng)路況良好時,在干燥的路面上,汽車的剎車距離s與車速v之間的關(guān)系如下表所示:
v/(km/h)406080100120
s/m24.27.21115.6
(1)在平面直角坐標(biāo)系中描出每對(v,s)所對應(yīng)的點,并用光滑的曲線順次連接各點;
(2)利用圖象驗證剎車距離s(m)與車速v(km/h)是否有如下關(guān)系:s=
1
1000
v2+
1
100
v0

(3)求當(dāng)s=9m時的車速v.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

如圖1,點C、B分別為拋物線C1:y1=x2+1,拋物線C2:y2=a2x2+b2x+c2的頂點.分別過點B、C作x軸的平行線,交拋物線C1、C2于點A、D,且AB=BD.
(1)求點A的坐標(biāo):
(2)如圖2,若將拋物線C1:“y1=x2+1”改為拋物線“y1=2x2+b1x+c1”.其他條件不變,求CD的長和a2的值;
(3)如圖2,若將拋物線C1:“y1=x2+1”改為拋物線“y1=4x2+b1x+c1”,其他條件不變,求b1+b2的值______(直接寫結(jié)果).

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