已知:拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)的對(duì)稱軸為x=-1,與x軸交于A,B兩點(diǎn),與y軸交于點(diǎn)C,其中A(-3,0),C(0,-2)
(1)求這條拋物線的函數(shù)表達(dá)式;
(2)已知在對(duì)稱軸上存在一點(diǎn)P,使得△PBC的周長(zhǎng)最。(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo);
(3)若點(diǎn)D是線段OC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)O、點(diǎn)C重合).過(guò)點(diǎn)D作DEPC交x軸于點(diǎn)E.連接PD、PE.設(shè)CD的長(zhǎng)為m,△PDE的面積為S.求S與m之間的函數(shù)關(guān)系式.試說(shuō)明S是否存在最大值?若存在,請(qǐng)求出最大值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
(1)由題意得
b
2a
=1
9a-3b+c=0
c=-2
,
解得
a=
2
3
b=
4
3
c=-2
,
∴此拋物線的解析式為y=
2
3
x2+
4
3
x-2.

(2)連接AC、BC.

因?yàn)锽C的長(zhǎng)度一定,
所以△PBC周長(zhǎng)最小,就是使PC+PB最。
B點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)是A點(diǎn),AC與對(duì)稱軸x=-1的交點(diǎn)即為所求的點(diǎn)P.
設(shè)直線AC的表達(dá)式為y=kx+b,
-3k+b=0
b=-2

解得
k=-
2
3
b=-2
,
∴此直線的表達(dá)式為y=-
2
3
x-2,
把x=-1代入得y=-
4
3

∴P點(diǎn)的坐標(biāo)為(-1,-
4
3
).

(3)S存在最大值,
理由:∵DEPC,即DEAC.
∴△OED△OAC.
OD
OC
=
OE
OA
,即
2-m
2
=
OE
3
,
∴OE=3-
3
2
m,OA=3,AE=
3
2
m,
∴S=S△OAC-S△OED-S△AEP-S△PCD
=
1
2
×3×2-
1
2
×(3-
3
2
m)×(2-m)-
1
2
×
3
2
4
3
-
1
2
×m×1
=-
3
4
m2+
3
2
m=-
3
4
(m-1)2+
3
4

-
3
4
<0

∴當(dāng)m=1時(shí),S最大=
3
4
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:填空題

如圖,直線y=x+2與x軸交于點(diǎn)A,與y軸交于點(diǎn)B,AB⊥BC,且點(diǎn)C在x軸上,若拋物線y=ax2+bx+c以C為頂點(diǎn),且經(jīng)過(guò)點(diǎn)B,則這條拋物線的關(guān)系式為_(kāi)_____.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:解答題

如圖,將一塊含30°角的學(xué)生用三角板放在平面直角坐標(biāo)系中,使頂點(diǎn)A、B分別放置在y軸、x軸上,已知AB=2,∠ABO=∠ACB=30°.
(1)求點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo);
(2)求過(guò)A,B,C三點(diǎn)的拋物線解析式;
(3)在(2)中的拋物線上是否存在點(diǎn)P,使△PAB的面積等于△ABC的面積?若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由;若存在,請(qǐng)你求出點(diǎn)P的坐標(biāo).

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:解答題

(A)拋物線y=ax2+bx+c與x軸交于A、B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè)),與y軸交于點(diǎn)C,且當(dāng)x=0和x=2時(shí),y的值相等.直線y=3x-7與這條拋物線相交于兩點(diǎn),其中一點(diǎn)的橫坐標(biāo)是4,另一點(diǎn)是這條拋物線的頂點(diǎn)M.
(1)求這條拋物線的解析式;
(2)P為線段BM上一點(diǎn),過(guò)點(diǎn)P向x軸引垂線,垂足為Q.若點(diǎn)P在線段BM上運(yùn)動(dòng)(點(diǎn)P不與點(diǎn)B、M重合),設(shè)OQ的長(zhǎng)為t,四邊形PQOC的面積為S.求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式及自變量t的取值范圍.
(3)對(duì)于二次三項(xiàng)式x2-10x+36,小明同學(xué)作出如下結(jié)論:無(wú)論x取什么實(shí)數(shù),它的值都不可能等于11.你是否同意他的說(shuō)法?說(shuō)明你的理由.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:解答題

某商場(chǎng)將進(jìn)貨價(jià)為30元的臺(tái)燈以40元售出,平均每月能售出600個(gè).市場(chǎng)調(diào)研表明:當(dāng)銷售價(jià)為每上漲1元時(shí),其銷售量就將減少10個(gè).商場(chǎng)要想銷售利潤(rùn)平均每月達(dá)到最大,每個(gè)臺(tái)燈的定價(jià)應(yīng)為多少元?這時(shí)應(yīng)進(jìn)臺(tái)燈多少個(gè)?月銷售利潤(rùn)最大為多少元?

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:填空題

如圖,用一段長(zhǎng)為30米的籬笆圍成一個(gè)一邊靠墻(墻的長(zhǎng)度不限)的矩形菜園ABCD,設(shè)AB邊長(zhǎng)為x米,則菜園的面積y(米2)與x(米)的關(guān)系式為_(kāi)_____.(不要求寫出自變量x的取值范圍)

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:解答題

已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中,拋物線y=ax2+2x經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(4,0),頂點(diǎn)為B.
(1)求頂點(diǎn)B的坐標(biāo);
(2)將這條拋物線向左平移后與y軸相交于點(diǎn)C,此時(shí)點(diǎn)A移動(dòng)到點(diǎn)D的位置,且∠DBA=∠CBO,求平移后拋物線的表達(dá)式.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:解答題

如圖,⊙M的圓心在x軸上,與坐標(biāo)軸交于A(0,
3
)、B(-1,0),拋物y=-
3
3
x2+bx+c
經(jīng)過(guò)A、B兩點(diǎn).
(1)求拋物線的函數(shù)解析式;
(2)設(shè)拋物線的頂點(diǎn)為P.試判斷點(diǎn)P與⊙M的位置關(guān)系,并說(shuō)明理由;
(3)若⊙M與y軸的另一交點(diǎn)為D,則由線段PA、線段PD及弧ABD圍成的封閉圖形PABD的面積是多少?

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:單選題

二次函數(shù)y=ax2+bx+c的值恒為正,則a,b,c應(yīng)滿足( 。
A.a(chǎn)>0,b2-4ac>0B.a(chǎn)>0,b2-4ac<0
C.a(chǎn)<0,b2-4ac>0D.a(chǎn)<0,b2-4ac<0

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