Question

如圖，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD是角平分線(xiàn)．
（1）求證：△ABC∽△BCD；
（2）求證：BC是CD與CA的比例中項(xiàng)；
（3）若BC=2，求AB的長(zhǎng)．

Answer 1

考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì),等腰三角形的性質(zhì)

專(zhuān)題：

分析：（1）利用角平分線(xiàn)的性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì)得出對(duì)應(yīng)角相等，進(jìn)而得出相似三角形；
（2）利用（1）中所求，利用相似三角形的性質(zhì)得出即可；
（3）利用等腰三角形的性質(zhì)以及一元二次方程的解法得出即可．

解答：（1）證明：∵AB=AC，∠A=36°，
∴∠ABC=∠C=72°，
∵BD是角平分線(xiàn)，
∴∠ABD=∠DBC=36°，
∴∠A=∠CBD，
又∵∠C=∠C，
∴△ABC∽△BCD；

（2）證明：∵△ABC∽△BCD，
∴

AB

BC

=

BC

CD

，
∴AB×CD=BC²，
∵AB=AC，
∴AC×CD=BC²，
∴BC是CD與CA的比例中項(xiàng)；

（3）解：∵∠ABD=∠A=36°，
∴AD=BD=BC，
∵BC=2，
∴AD=2，
∴（2+DC）×CD=2²，
解得：CD=

5

-1，
∴AC=

5

-1+2=

5

+1．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)，利用已知得出△ABC∽△BCD是解題關(guān)鍵．