Question

已知拋物線y₁=（x-5）（x-a）與x軸交于定點A和另一點C．
（1）求定點A的坐標．
（2）以坐標原點為圓心，半徑為

5

的圓交拋物線y₁=（x-5）（x-a）于點B，當直線AB與圓相切時，求y₁的解析式．
（3）在（2）中的拋物線上是否存在點P（P在點A的右上方），使△PAC、△PBC的面積相等？若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：二次函數(shù)綜合題

專題：代數(shù)幾何綜合題

分析：（1）令y=0，解關于x的一元二次方程即可得到頂點A的坐標；
（2）連接OB，過點B作BD⊥OA于D，根據(jù)切線的定義可得OB⊥AB，利用勾股定理列式求出AB的長，再根據(jù)相似三角形對應邊成比例列式求出BD、OD的長，從而得到點B的坐標，然后把點B的坐標代入拋物線解析式計算求出a的值即可得解；
（3）利用待定系數(shù)法求出直線AB的解析式，再根據(jù)等底等高的三角形的面積相等，平行線間的距離相等，過點C作AB的平行線，與拋物線的交點即為所求的點P，然后聯(lián)立拋物線與直線的解析式求解即可．

解答：解：（1）y=0，則（x-5）（x-a）=0，
解得x₁=5，x₂=a，
所以，定點A的坐標為（5，0）；

（2）連接OB，過點B作BD⊥OA于D，
∵直線AB與圓相切，
∴OB⊥AB，
∵OA=5，OB=

5

，
∴AB=

OA2-OB2

=

52- 5 2

=2

5

，
∵∠AOB=∠BOD，∠ABO=∠BDO=90°，
∴△ABO∽△BDO，
∴

BD

AB

=

OD

OB

=

OB

OA

，
即

BD

2 5

=

OD

5

=

5

5

，
解得BD=2，OD=1，
∴點B的坐標為（1，-2）或（1，2），
∵拋物線y₁=（x-5）（x-a）過點B，
∴（1-5）（1-a）=-2，
∴a=

1

2

，
∴y₁=（x-5）（x-

1

2

）；

（3）存在點P（

11

2

，

5

2

）．
理由如下：當B（1，-2）時，設直線AB的解析式為y=kx+b（k≠0，k、b是常數(shù)），
則

5k+b=0 k+b=-2

，
解得

k= 1 2 b=- 5 2

，
所以，直線AB的解析式為y=

1

2

x-

5

2

，
∵點C的坐標為（

1

2

，0），
∴設過點C與AB平行的直線CP的解析式為y=

1

2

x+c，
則

1

2

×

1

2

+c=0，
解得c=-

1

4

，
所以，CP的解析式為y=

1

2

x-

1

4

，
∵CP∥AB，
∴點A、B到CP的距離相等，
∴△PAC、△PBC的面積相等，
此時，聯(lián)立

y=(x-5)(x- 1 2 ) y= 1 2 x- 1 4

，
解得

x1= 1 2 y1=0

（為點C，舍去），

x2= 11 2 y2= 5 2

，
∴點P的坐標為（

11

2

，

5

2

）．
同理，當B（1，2）時，P（

11

2

，

5

2

）．
綜上所述，滿足條件的點P的坐標是（

11

2

，

5

2

）或（

11

2

，

5

2

）．

點評：本題是二次函數(shù)綜合題型，主要考查了二次函數(shù)與x軸的交點問題，勾股定理的應用，直線與圓相切，相似三角形的判定與性質，等底等高的三角形的面積相等，平行線間的距離相等的性質，（3）是本題的難點，考慮利用CP∥AB求解是解題的關鍵．