Question

金秋仲元，綠蔭有情，湖水弄波，盛裝以待，賓朋匯聚，相約一個共同的慶典--2009年廣東仲元中學七十五周年華誕．近年來仲元中學共有14位同學榮獲理科綜合省狀元．各學科競賽國家級、省級獎數(shù)不勝數(shù)…閃光的獎牌，凝聚著智慧與汗水；諸多的殊榮，彰顯厚重與氣度．
而數(shù)字2009在數(shù)學上也有著它特別的性質(zhì)．就如有些自然數(shù)可以分成兩個自然數(shù)的平方和，如：5=1²+2²，13=2²+3²，41=4²+5²，65=4²+7²，…，
請你探究：2009能分成兩個自然數(shù)的平方和嗎？若能，請寫出來；若不能，請說明理由．

Answer 1

考點：整數(shù)問題的綜合運用

專題：

分析：首先假設(shè)能，則設(shè)2009=（2n+1）²+（2m）²，即可得：m²+n²+n=502與m²=502-n（n+1）②與n（n+1）=502-m²③，由n和n+1是連續(xù)自然數(shù)，則可得502-n（n+1）與m必是偶數(shù)，則可求得m與n的值．

解答：解：

m	2	4	6	8	10	12	14	16	18	20	22
m2	4	16	36	64	100	144	196	256	324	400	484
△	1993	1945	1865	1753	1609	1433	1225	985	713	408	73
△	※	※	※	※	※	※	35	※	※	※	※

若能，這兩個自然數(shù)必然一奇數(shù)一偶數(shù)．
不妨設(shè)2009=（2n+1）²+（2m）²（※），
∵其中m，n為自然數(shù)．
化簡方程（※）得：m²+n²+n=502①，
對方程①進行變形，得如下兩個等式：m²=502-n（n+1）②與n（n+1）=502-m²③，
首先，由②式可知，m必然是偶數(shù)．
∵n和n+1是連續(xù)自然數(shù)，
∴n（n+1）必是偶數(shù)，
∴502-n（n+1）必是偶數(shù)．
即m²必是偶數(shù)，于是m必是偶數(shù)．
再由③得，502-m²≥0，
∴0≤m＜23．
綜上可知，m的可取值是2，4，6，8，10，12，14，16，18，20，22．
∵n是自然數(shù)，
∴計算這些方程的根的判別式：△=1+4（502-m²），
只要找到m取哪些值能使△的值為完全平方數(shù)即可．列表如上圖：
從表可以看出，當m=14時，△是完全平方數(shù)．
此時自然數(shù)n=17，2n+1=35，2m=28．
∴2009=35²+28²．

點評：此題考查了整數(shù)問題的綜合應用．注意2009=（2n+1）²+（2m）²并發(fā)現(xiàn)502-n（n+1）與m必是偶數(shù)是解此題的關(guān)鍵．