2.如圖,拋物線y=a(x-1)2+h的頂點(diǎn)為M,與x軸正半軸交于點(diǎn)C,直線$y=\frac{3}{4}x+\frac{3}{2}$與拋物線交于點(diǎn)A(2,3),與x軸交于點(diǎn)B,且AB=BC.

(1)求拋物線的函數(shù)關(guān)系式;
(2)若拋物線對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)N,P為直線AB上一點(diǎn),過(guò)點(diǎn)P作MN的平行線交拋物線于點(diǎn)Q,問:以M、N、P、Q四點(diǎn)為頂點(diǎn)構(gòu)成的四邊形能否為等腰梯形?若能,求點(diǎn)P的坐標(biāo);若不能,請(qǐng)說(shuō)明理由;
(3)將拋物線作適當(dāng)平移,頂點(diǎn)M落在直線AB上,與x軸交于D、E兩點(diǎn),是否存在這樣的拋物線,使得△MDE∽△BAC?若存在請(qǐng)求出平移后的拋物線的解析式;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

分析 (1)先求出點(diǎn)B坐標(biāo),進(jìn)一步求出AB的長(zhǎng)度,之后求出點(diǎn)C坐標(biāo),代入拋物線求解即可;
(2)設(shè)出點(diǎn)P,Q的坐標(biāo),運(yùn)用坐標(biāo)表示相應(yīng)線段長(zhǎng)度,根據(jù)等腰梯形的相關(guān)性質(zhì)建立方程,求解;
(3)首先根據(jù)頂點(diǎn)在直線AB上設(shè)出點(diǎn)M的坐標(biāo),進(jìn)一步表示拋物線解析式,求出點(diǎn)D,E的坐標(biāo),根據(jù)相似建立方程求解即可.

解答 解:(1)直線y=$\frac{3}{4}x+\frac{3}{2}$,令y=0,解得:x=-2,
∴點(diǎn)B(-2,0),
由A(2,3),可求AB=$\sqrt{(2+2)^{2}+(3-0)^{2}}$=5,
∴BC=AB=5,
∵點(diǎn)B(-2,0),
∴點(diǎn)C(3,0),
∵y=a(x-1)2+h過(guò)點(diǎn)A(2,3),點(diǎn)C(3,0),
∴$\left\{\begin{array}{l}{3=a+h}\\{0=4a+h}\end{array}\right.$,
解得:$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{h=4}\end{array}\right.$,
所以拋物線的解析式為:y=-(x-1)2+4=-x2+2x+3,
(2)如圖1:

y=-x2+2x+3的對(duì)稱軸:x=1,頂點(diǎn)M(1,4),
由點(diǎn)P在直線AB上,設(shè)點(diǎn)P(m,$\frac{3}{4}m+\frac{3}{2}$),則點(diǎn)Q(m,-m2+2m+3),
根據(jù)等腰三角形性質(zhì)可得:4-(-m2+2m+3)=$\frac{3}{4}m+\frac{3}{2}$,
解得:m=2(舍去),或m=$\frac{3}{4}$,
此時(shí):$\frac{3}{4}m+\frac{3}{2}$的值為:$\frac{33}{16}$,
以M、N、P、Q四點(diǎn)為頂點(diǎn)構(gòu)成的四邊形能為等腰梯形,點(diǎn)P的坐標(biāo):($\frac{3}{4}$,$\frac{33}{16}$);
(3)如圖2:連接MD,ME,過(guò)點(diǎn)M作MG⊥x軸,過(guò)點(diǎn)A作AH⊥x軸,

設(shè)點(diǎn)M(n,$\frac{3}{4}n+\frac{3}{2}$),則拋物線的解析式:y=$-(x-n)^{2}+\frac{3}{4}n+\frac{3}{2}$,
令y=0,得:0=$-(x-n)^{2}+\frac{3}{4}n+\frac{3}{2}$,
解得:x=n+$\frac{\sqrt{3n+6}}{2}$,或x=n-$\frac{\sqrt{3n+6}}{2}$,
∴點(diǎn)D(n-$\frac{\sqrt{3n+6}}{2}$,0),
∴DG=n-(n-$\frac{\sqrt{3n+6}}{2}$)=$\frac{\sqrt{3n+6}}{2}$,
由點(diǎn)A(2,3),點(diǎn)C(3,0),可得:AH=3,DH=3-2=1,
∴tan∠ACH=3,
要使得△MDE∽△BAC,有:∠MDH=∠ACH,
∴tan∠MDG=3,$\frac{MG}{DG}$=3,
∴$\frac{3}{4}n+\frac{3}{2}$=$\frac{\sqrt{3n+6}}{2}$×3,
解得:n=10,或n=-2(舍去),
∴點(diǎn)M(10,9),
所以此時(shí)拋物線的解析式為:y=-(x-1)2+9.

點(diǎn)評(píng) 此題主要考查二次函數(shù)的綜合問題,會(huì)求函數(shù)圖象與軸的交點(diǎn),會(huì)運(yùn)用點(diǎn)求解析式,知道設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)表示線段,尋找關(guān)系列出方程并準(zhǔn)確求解是解題的關(guān)鍵.

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