Question

如圖①，△ABC中，AB=AC，∠B、∠C的平分線交于O點，過O點作EF∥BC交AB、AC于E、F．
（1）圖中有幾個等腰三角形？猜想：EF與BE、CF之間有怎樣的關系，并說明理由．
（2）如圖②，若AB≠AC，其他條件不變，圖中還有等腰三角形嗎？如果有，分別指出它們．在第（1）問中EF與BE、CF間的關系還存在嗎？
（3）如圖③，若△ABC中∠B的平分線BO與三角形外角平分線CO交于O，過O點作OE∥BC交AB于E，交AC于F．這時圖中還有等腰三角形嗎？EF與BE、CF關系又如何？說明你的理由．

Answer 1

（1）圖中有5個等腰三角形，
EF=BE+CF，
∵△BEO≌△CFO，且這兩個三角形均為等腰三角形，
可得EF=EO+FO=BE+CF；

（2）還有兩個等腰三角形，為△BEO、△CFO，
如下圖所示：∵EF∥BC，
∴∠2=∠3，
又∵∠1=∠2，
∴∠1=∠3，
∴△BEO為等腰三角形，在△CFO中，同理可證．
∴EF=BE+CF存在．

（3）有等腰三角形：△BEO、△CFO，此時EF=BE-CF，
∵如下圖所示：OE∥BC，∴∠5=∠6，
又∠4=∠5，∴∠4=∠6，
∴△BEO是等腰三角形，
在△CFO中，同理可證△CFO是等腰三角形，
∵BE=EO，OF=FC，
∴BE=EF+FO=EF+CF，
∴EF=BE-CF