Question

如圖，拋物線(xiàn)y=-x²+bx+c與x軸的一個(gè)交點(diǎn)是A，與y軸的交點(diǎn)是B，且OA、OB（OA＜OB）的長(zhǎng)是方程x²-6x+5=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根．
（1）求A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）求出此拋物線(xiàn)的解析式及頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（3）求出此拋物線(xiàn)與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（4）在直線(xiàn)BC上是否存在一點(diǎn)P，使四邊形PDCO為梯形？若存在，求出P點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

（1）∵x²-6x+5=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為x₁=1，x₂=5
OA、OB（OA＜OB）的長(zhǎng)是方程x²-6x+5=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根
∴OA=1，OB=5
∴A（1，0），B（0，5）（2分）

（2）∵拋物線(xiàn)y=-x²+bx+c與x軸的一個(gè)交點(diǎn)是A，與y軸的交點(diǎn)是B
∴

-1+b+c=0 c=5

解得：

b=-4 c=5

∴所求二次函數(shù)的解析式為：y=-x²-4x+5（3分）
頂點(diǎn)坐標(biāo)為：D（-2，9）（4分）

（3）此拋物線(xiàn)與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)C的坐標(biāo)為（-5，0）（5分）

（4）直線(xiàn)CD的解析式為：
y=3x+15（6分）
直線(xiàn)BC的解析式為：
y=x+5（7分）
∵以CD為底，則OP∥CD
直線(xiàn)OP的解析式為：y=3x
于是有

y=x+5 y=3x

解得：

x= 5 2 y= 15 2

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（

5

2

，

15

2

)（8分）
②若以O(shè)C為底，則DP∥CO
直線(xiàn)DP的解析式為：y=9
于是有

y=x+5 y=9

解得：

x=4 y=9

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（4，9）（9分）
∴在直線(xiàn)BC上存在點(diǎn)P，使四邊形PDCO為梯形且P點(diǎn)坐標(biāo)為（

5

2

，

15

2

)或（4，9）（10分）