Question

如圖，△ABC中，∠C=90°，AC=BC=2，取BC邊中點E，作ED∥AB，EF∥AC，得到四邊形EDAF，它的面積記作S₁；取BE中點E₁，作E₁D₁∥FB，E₁F₁∥EF，得到四邊形E₁D₁EF₁，它的面積記作S₂，照此規(guī)律作下去，則S₂₀₁₅=

 

．

Answer 1

考點：相似多邊形的性質(zhì),等腰直角三角形

專題：規(guī)律型

分析：先計算出S_△ABC=2，在利用相似三角形的性質(zhì)計算出S_△CDE=

1

2

，同理可得S_△BEF=

1

2

，則S₁=1，再證明四邊形E₁D₁EF₁與四邊形EDAF相似，利用相似多邊形的性質(zhì)得

S2

S1

=（

D1E

EF

）²=

1

4

，可計算得S₂=

1

4

，同理可得S₃=（

1

4

）²，然后根據(jù)由此規(guī)律易得S₂₀₁₅的值．

解答：解：∵∠C=90°，AC=BC=2，
∴S_△ABC=

1

2

×2×2=2，
∵點E為BC的點，ED∥AB，
∴

S△CDE

S△ABC

=（

CE

BC

）²=

1

4

∴S_△CDE=

1

2

，
同理可得S_△BEF=

1

2

，
∴S₁=1，
∵取BE中點E₁，作E₁D₁∥FB，E₁F₁∥EF，得到四邊形E₁D₁EF₁，
∴四邊形E₁D₁EF₁與四邊形EDAF相似，
∴

S2

S1

=（

D1E

EF

）²=

1

4

，
∴S₂=

1

4

，
同理可得S₃=（

1

4

）²，
由此規(guī)律可得S₂₀₁₅=（

1

4

）²⁰¹⁴．

故答案為（

1

4

）²⁰¹⁴．

點評：本題考查了相似多邊形的性質(zhì)：相似多邊形對應(yīng)邊的比叫做相似比；對應(yīng)角相等；對應(yīng)邊的比相等；相似多邊形面積的比等于相似比的平方．也考查了等腰直角三角形．