Question

如圖，△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形，P為劣弧

BC

上任意一點，∠APB=∠APC=60°；
（1）若AB=3，求△ABC的周長；
（2）判斷出PA、PB、PC三條線段之間的數(shù)量關(guān)系，并加以證明．

Answer 1

考點：全等三角形的判定與性質(zhì),等邊三角形的判定與性質(zhì),圓周角定理

專題：

分析：（1）△ABC形狀是等邊三角形，根據(jù)圓周角定理和等邊三角形的判定方法證明即可；
（2）猜想：AP=BP+CP，可通過構(gòu)建全等三角形來求解．

解答：解：（1）如圖，∵∠APB=∠APC=60°，
∴∠ABC=∠APC=60°，∠ACB=∠APB=60°，
∴∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°，
∴△ABC是等邊三角形，
∴△ABC的周長=3AB=3×3=9；

（2）AP=BP+CP．理由如下：
如圖，延長BP使PD=PC，連接CD，
∵∠APC=60°，∠BPC=120°，
∴∠PBC=∠PAC．
∴∠CPD=60°．
∴△PCD是等邊三角形．
∴∠D=60°=∠APC．
在△BCD和△ACP中，

∠D=∠APC ∠DBC=∠PAC BC=AC

，
∴△BCD≌△ACP（AAS）．
∴BD=AP．
∵BD=BP+PD=BP+CP，
∴AP=BP+CP．

點評：本題考查的是圓周角定理、等邊三角形的性質(zhì)及全等三角形的判定與性質(zhì)，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出全等三角形是解答此題的關(guān)鍵．