Question

如圖，二次函數(shù)y=x²+bx+c的圖象交x軸于A（﹣1，0）、B（3，0）兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C，連接BC，動(dòng)點(diǎn)P以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度從A向B運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)Q以每秒個(gè)單位長(zhǎng)度的速度從B向C運(yùn)動(dòng)，P、Q同時(shí)出發(fā)，連接PQ，當(dāng)點(diǎn)Q到達(dá)C點(diǎn)時(shí)，P、Q同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．

（1）求二次函數(shù)的解析式；

（2）如圖1，當(dāng)△BPQ為直角三角形時(shí)，求t的值；

（3）如圖2，當(dāng)t＜2時(shí)，延長(zhǎng)QP交y軸于點(diǎn)M，在拋物線上是否存在一點(diǎn)N，使得PQ的中點(diǎn)恰為MN的中點(diǎn)？若存在，求出點(diǎn)N的坐標(biāo)與t的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

解：（1）∵二次函數(shù)y=x²+bx+c的圖象經(jīng)過(guò)A（﹣1，0）、B（3，0）兩點(diǎn)，

∴，

解得．

∴二次函數(shù)的解析式是：y=x²﹣2x﹣3．

（2）∵y=x²﹣2x﹣3，

∴點(diǎn)C的坐標(biāo)是（0，﹣3），

∴BC==3，

設(shè)BC所在的直線的解析式是：y=mx+n，

則，

解得．

∴BC所在的直線的解析式是：y=x﹣3，

∵經(jīng)過(guò)t秒，AP=t，BQ=t，

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)是（t﹣1，0），

設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)是（x，y），

∵OB=OC=3，

∴∠OBC=∠OCB=45°，

則y=×sin45°=×=t，

∴BP==×=t，

∴x=3﹣t，

∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)是（3﹣t，t），

①如圖1，

，

當(dāng)∠QPB=90°時(shí)，

點(diǎn)P和點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)相同，

∵點(diǎn)P的坐標(biāo)是（t﹣1，0），點(diǎn)Q的坐標(biāo)是（3﹣t，t），

∴t﹣1=3﹣t，

解得t=2，

即當(dāng)t=2時(shí)，△BPQ為直角三角形．

②如圖2，

，

當(dāng)∠PQB=90°時(shí)，

∵∠PBQ=45°，

∴BP=，

∵BP=3﹣（t﹣1）=4﹣t，BQ=，

∴4﹣t=

即4﹣t=2t，

解得t=，

即當(dāng)t=時(shí)，△BPQ為直角三角形．

綜上，可得

當(dāng)△BPQ為直角三角形，t=或2．

（3）如圖3，延長(zhǎng)MQ交拋物線于點(diǎn)N，H是PQ的中點(diǎn)，

，

設(shè)PQ所在的直線的解析式是y=cx+d，

∵點(diǎn)P的坐標(biāo)是（t﹣1，0），點(diǎn)Q的坐標(biāo)是（3﹣t，t），

∴，

解得．

∴PQ所在的直線的解析式是y=x+，

∴點(diǎn)M的坐標(biāo)是（0，）

∵，，

∴PQ的中點(diǎn)H的坐標(biāo)是（1，）

假設(shè)PQ的中點(diǎn)恰為MN的中點(diǎn)，

∵1×2﹣0=2，=，

∴點(diǎn)N的坐標(biāo)是（2，），

又∵點(diǎn)N在拋物線上，

∴=2²﹣2×2﹣3=﹣3，

解得t=或t=﹣（舍去），

∵＞，

∴當(dāng)t＜2時(shí)，延長(zhǎng)QP交y軸于點(diǎn)M，在拋物線上不存在一點(diǎn)N，使得PQ的中點(diǎn)恰為MN的中點(diǎn)．