Question

如圖，A、B兩個(gè)村子在河CD的同側(cè)，A、B兩村到河的距離分別為AC=1km，BD=3km，CD=3km，現(xiàn)在河邊CD上建一水廠向A、B兩村輸送自來水，鋪設(shè)水管的費(fèi)用為20000元/千米，請(qǐng)你在CD選擇水廠位置O，使鋪設(shè)水管的費(fèi)用最省，并求出鋪設(shè)水管的總費(fèi)用F。(本題7分)

Answer 1

F=20000×5=100000元

分析：作點(diǎn)A關(guān)于河CD的對(duì)稱點(diǎn)A′，當(dāng)水廠位置O在線段AA′上時(shí)，鋪設(shè)管道的費(fèi)用最省。
解答：

作點(diǎn)A關(guān)于河CD的對(duì)稱點(diǎn)A′，連接A′B，交CD與點(diǎn)O，則點(diǎn)O即為水廠位置，此時(shí)鋪設(shè)的管道長度為OA+OB。
∵點(diǎn)A與點(diǎn)A′關(guān)于CD對(duì)稱，
∴OA′=OA，A′C=AC=1，
∴OA+OB=OA′+OB=A′B．
過點(diǎn)A′作A′E⊥BD于E，則∠A′EB=90°，A′E=CD=3，BE=BD+DE=3+1=4，
∴在Rt△A′BE中，A′B²= A^′E²+BE²=25，
∴A′B=5（千米）
∴20000×5=100000（元）。
點(diǎn)評(píng)：要使鋪設(shè)管道的費(fèi)用最省，由于鋪設(shè)管道每千米的費(fèi)用一定，為2000元，即轉(zhuǎn)化為求鋪設(shè)管道的長度最短的值．運(yùn)用軸對(duì)稱的性質(zhì)，將點(diǎn)A轉(zhuǎn)化到點(diǎn)A′，將求折線問題轉(zhuǎn)化為求線段問題，其說明最短的依據(jù)是三角形兩邊之和大于第三邊。