Question

如圖，已知△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，BE是∠ABC的平分線，DE⊥BC，垂足為D．
（1）請你寫出圖中所有的等腰三角形；
（2）請你判斷AD與BE垂直嗎？并說明理由．
（3）如果BC=10，求AB+AE的長．

Answer 1

（1）△ABC，△ABD，△ADE，△EDC．

（2）AD與BE垂直．
證明：由BE為∠ABC的平分線，
知∠ABE=∠DBE，∠BAE=∠BDE=90°，BE=BE，
∴△ABE沿BE折疊，一定與△DBE重合．
∴A、D是對稱點，
∴AD⊥BE．

（3）∵BE是∠ABC的平分線，DE⊥BC，EA⊥AB，
∴AE=DE，
在Rt△ABE和Rt△DBE中

AE=DE BE=BE

∴Rt△ABE≌Rt△DBE（HL），
∴AB=BD，
又△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，
∴∠C=45°，又ED⊥BC，
∴△DCE為等腰直角三角形，
∴DE=DC，
即AB+AE=BD+DC=BC=10．